Παναγιώτης Κατερίνης

Ηλίας Φλυτζάνης

 

Ανώτερα Μαθηματικά

ΤΟΜΟΣ Α

 

Α΄ Έκδοση

 

 

Εκδότης: Μπένου Γ.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Έτος έκδοσης: 2010

 

Αριθμός σελίδων: 464

 

Κωδικός ISBN: 9789608249738 (SET9789608249721)

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Τόμος: 1/2

 

Κωδ. Εύδοξος: 3583

 

 

 

 ► παρουσίαση

 

Το βιβλίο "Ανώτερα Μαθηματικά " απευθύνεται στους προπτυχιακούς φοιτητές των πανεπιστημιακών σχολών που ενδιαφέρονται κυρίως στις εφαρμογές των μαθηματικών. Αποτελείται από δύο τόμους και το περιεχόμενό τους αντιστοιχεί στην ύλη δύο εξαμηνιαίων μαθημάτων που καλύπτουν Μαθηματικό Λογισμό και Γραμμική Άλγεβρα. Υπάρχουν και κάποια ειδικότερα κεφάλαια που καλύπτουν πιο προχωρημένα θέματα.

Ειδικότερα o παρών πρώτος τόμος αποτελείται από 21 κεφάλαια. Τα δύο πρώτα {1,2} είναι εισαγωγικά και αφορούν γεωμετρικά διανύσματα και αναλυτική γεωμετρία. Τα επόμενα έξι κεφάλαια {3-8} καλύπτουν την βασική θεωρία της παραγώγου και του ολοκληρώματος για συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε έννοιες που αφορούν την κυρτότητα συναρτήσεων σε σχέση με προβλήματα βελτιστοποίησης. Ακολουθούν επτά κεφάλαια {9-15} που καλύπτουν την θεωρία της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, κυρίως δύο, με ιδιαίτερη έμφαση στη μελέτη των ισοσταθμικών και του ρυθμού υποκατάστασης, καθώς και του εσσιανού και του πλαισιωμένου εσσιανού πίνακα σε σχέση με τα προβλήματα βελτιστοποίησης. Η μελέτη αυτών των πινάκων στη γενική τους μορφή δίνεται στον δεύτερο τόμο. Ο πρώτος τόμος τελειώνει με έξι κεφάλαια {16-21} που καλύπτουν ειδικότερα θέματα: σειρές, συνθήκες Kuhn-Tucker, ελαστικότητα, διαφορικά, ομογένεια, ελαστικότητα υποκατάστασης, περιβάλλουσες, καθώς και μια εισαγωγή σε διαφορικές εξισώσεις.

Γενικά, η έμφαση είναι περισσότερο στην κατανόηση των εννοιών παρά στην αυστηρή μαθηματική θεμελίωση. Οι αποδείξεις είναι σχηματικές και δίνονται κυρίως όπου συμβάλλουν στην κατανόηση της σχετικής θεωρίας. Επίσης πολλά από τα παραδείγματα έχουν την αφετηρία τους σε αντίστοιχες εφαρμογές, ιδιαίτερα στις επιστήμες οικονομικών και διοίκησης, αλλά δεν δίνονται ειδικές αναφορές. Βέβαια στην παρουσίαση είναι σκόπιμη η σύνδεση με συγκεκριμένες εφαρμογές. Τελειώνοντας, θέλουμε να ευχαριστήσουμε τον συνεργάτη μας στο Τμήμα Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών Αναστάσιο Σούλη για την βοήθειά του σε όλα τα στάδια προετοιμασίας του βιβλίου.

Αθήνα 2010 Π. Κατερίνης, Η. Φλυτζάνης

 

 ► περιεχόμενα

 

1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ   1-16

1. Επίπεδα διανύσματα  2.Μήκος-Κατεύθυνση  3.Συγγραμμικά  4.Oρθογώνια  5.Περιστροφή συστήματος  6.Εσωτερικό γινόμενο  7.Διανύσματα στο χώρο

 

2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ   17-40

1.Ευθείες στο επίπεδο 2.Γραμμικά συστήματα 3.Κωνικές τομές 4.Μετατόπιση συστήματος 5.Περιστροφή συστήματος 6.Γεωμετρικοί τόποι 7.Κυρτοί συνδυασμοί 8.Ημιεπίπεδα 9.Επίπεδα στο χώρο 10.Ευθείες στο χώρο 11 .Τετραγωνικές επιφάνειες

 

3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ  41-54

1 .Συναρτήσεις  2.Θετικές δυνάμεις  3.Αρνητικές δυνάμεις  4.Εκθετική  5.Λογαριθμική 6.Αλλαγή βάσης  7.Πολυωνυμικές  8.Ρητές  9.Τριγωνομετρικές  10.Τμηματικά ορισμένες 11.Μετασχηματισμοί  12.Σύνθεση  13.Συνεχής 14.Μονοτονία 15.Μηδενικά

 

4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ  55-74

1.Κλίση 2.Μεταβολές  3.Ρυθμός μεταβολής  4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων  5.Κανόνες παραγώγισης  6.Αλυσωτή παράγωγος  7.Μονοτονία  8.Στάσιμα  9.Ασυνέχειες της παραγώγου  10.Γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση  11 .Μέθοδος Newton 12.Γραμμική παρεμβολή  13.Κανόνας L’ Hopital 14.Τάξη απείρου  15.Τάξη μηδενικού

 

5. ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ   75-88

1.Δεύτερη παράγωγος  2.Παραβολική προσέγγιση ή επέκταση  3.Κυρτή συνάρτηση  4.Κοίλη συνάρτηση  5.Σημεία καμπής   6.Χαρακτηρισμός κυρτών/κοίλων συναρτήσεων  7.Oιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις

 

6. ΑΚΡΟΤΑΤΑ   89-102

1.Ολικά ακρότατα  2.Τοπικά ακρότατα  3.Αναγκαίες συνθήκες  4.Ικανές συνθήκες 5.Αλγόριθμος για ακρότατα  6.Ακρότατα με περιορισμούς  7.Συνθήκες κυρτότητας για ολικά ακρότατα  8.Κυρτός Προγραμματισμός  9.Παράμετροι

 

7. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ  103-120

1.Πλεγμένες συναρτήσεις  2.Πλεγμένη παραγώγιση  3.Αντίστροφη συνάρτηση  4.Παράγωγος αντίστροφης 5.Αντίστροφες τριγωνομετρικές  6.Μετασχηματισμοί  εξισώσεων  7.Παραμετρικές εξισώσεις  8.Σχετιζόμενοι ρυθμοί  9.Ανισότητες  10.Κυρτή περιοχή

 

8. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ  121-142

1.Ορισμένο ολοκλήρωμα  2.Παράγουσα  3.Αοόριστο ολοκλήρωμα  4.Θεμελιώδες θεώρημα του Μαθηματικού Λογισμού 5.Βασικά ολοκληρώματα 6.Γραμμικότητα 7.Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής  8.Ολο κλήρωση κατά μέρη  9.Ολοκληρώματα ρητών  10.Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών 11.Αντίστροφες τριγωνομετρικές  12.Γενικευμένο ολοκλήρωμα  13.Κριτήριο σύγκρισης 14.Κατανομές  15.Αριθμητική ολοκλήρωση  16. Αθροίσματα Riemann

 

9. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ   143-164

1 .Συναρτήσεις δύο μεταβλητών 2. Μερικές παράγωγοι  3.Ειδικές συναρτήσεις 4.Περισσότερες μεταβλητές  5. Απλή Σύνθεση  6. Αλυσωτή Παραγώγιση  7. Θεμελιώδης σχέση 8.Τελικές και ενδιάμεσες μεταβλητές 9.Δένδρο εξάρτησης 10. Ρυθμός υποκατάστασης  11.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 12.Συστήματα εξισώσεων 13.1ακωβιανές ορίζουσες  14. Κανονικά σημεία

 

10. IΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ  165-182

1.Επιφάνειες-Γράφημα 2.Εφαπτόμενο επίπεδο-Γραμμική προσέγγιση  3.Ισοσταθμικές 4.Εξαρτημένες συναρτήσεις  5.Παράγωγος κατά κατεύθυνση  6.Διανυσματική παράγωγος 7.Στάσιμα σημεία  8.Μετατόπιση καμπύλων  9.Μονοτονία  10.Περισσότερες μεταβλητές

 

11.  ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ LAGRANGE  183-202

1.Ολικά και τοπικά ακρότατα  2.Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Ισοτικός περιορισμός 4.Περιορισμένη στασιμότητα  5.Πολλαπλασιαστής Lagrange 6.Συνάρτηση Lagrange 7.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 8. Ανισοτικός περιορισμός  9.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί

 

12. ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ  203-216

1.Δεύτερες μερικές παράγωγοι  2.Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση  3.Δεύτερη αλυσωτή παράγωγος  4.Δεύτερη παράγωγος κατά κατεύθυνση 5. Δεύτερη πλεγμένη παράγωγος  6.Πλαισιωμένη Εσσιανή ορίζουσα 7. Κυρτότητα ισοσταθμικών  8.Περισσότερες μεταβλητές

 

13.  ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ   217-230

1 .Τετραγωνικές μορφές  2.Εσσιανός πίνακας  3.Χαρακτηρισμός ελεύθερων στάσιμων 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις  5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές

 

14.  ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ   231-252

1.Περιορισμένες τετραγωνικές μορφές  2.Χαρακτηρισμός περιορισμένων στάσιμων 3.Περιορισμένα ακρότατα με γραμμικό περιορισμό  4.Κυρτότητα της συνάρτησης Lagrange 5.Oιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις  6.Περιορισμένα ολικά ακρότατα οιονεί κυρτών/κοίλων συναρτήσεων  7.Πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες  8.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί

 

15.  ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ   253-266

1.Κανόνας Leibnitz  2.Συνάρτηση Γάμμα  3.Διπλό ολοκλήρωμα  4.Διαδοχικό ολοκλήρωμα 5.Αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης  6.Ορθογώνιες περιοχές 7.Πολικές συντεταγμένες 8.Κατανομή Gauss

 

16.  ΣΕΙΡΕΣ-ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR  267-280

1.Σύγκλιση σειράς  2.Γεωμετρική σειρά  3.Κριτήριο λόγου  4.Κριτήριο ολοκληρώματος 5.Δυναμοσειρές  6.Πολυώνυμα Taylor  7.Ανάπτυγμα Taylor 8. Σειρές Taylor 9.Δύο μεταβλητές  10.Διαφορικά  11 .Περιορισμένα διαφορικά

 

17.  ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ   281-300

1.Ρυθμοί μεταβολής  2.Σταθεροί ρυθμοί  3.Λογαριθμική κλίμακα  4.Ημιλογαριθμική κλίμακα  5.Εκτιμήσεις ρυθμών  6.Χαρακτηρισμός ελαστικότητας  7. Ελαστικότητα αντίστροφης  8.Μερικές ελαστικότητες 9. Πλεγμένη ελαστικότητα 10.Λογισμός ρυθμών 11.Διαφορικά 12. Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά  13.Ελαστικότητα στην Οικονομία

18.  ΟΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ  301-316

 

1.Ομογενείς συναρτήσεις  2.Ελαστικότητα κλίμακας  3.Ομογενής μηδενικού βαθμού 4.Ομογενής βαθμού κ 5.Ιδιότητες ομογενών 6.Ισοσταθμικές ομογενών 7.Ελαστικότητα υποκατάστασης  8.Oμοθετικές συναρτήσεις  9.Ιδιότητες της ελαστικότητας υποκατάστασης 10.Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης

19.  ΑΝΙΣΟΤΙΚΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ (KUHN-TUCKER)  317-346

 

1.Συμπληρωματική χαλαρότητα  2.Ένας ανισοτικός περιορισμός  3.Συνθήκες Kuhn-Tucker (Κ-Τ) 4.Πολλοί ανισοτικοί  περιορισμοί 5.Κυρτός Προγραμματισμός (CP) 6.Γραμμικός Προγραμματισμός (LP) 7.Οιονεί Κυρτός Προγραμματισμός (QCP) 8.Ολικά ακρότατα με ισοτικούς περιορισμούς 9. Συνοριακά Ακρότατα 10.Θετικότητες 11 .Μαθηματικός Προγραμματισμός (ΜΡ)

 

20.  ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ   347-360

1.Παράμετροι  2.Πάνω και κάτω περιβάλλουσα 3.Πάνω και κάτω περιβάλλουσα με δύο παραμέτρους  4.Περιορισμένη περιβάλλουσα

 

21.  ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ   361-394

1.Γενική λύση  2.Χωριζόμενες μεταβλητές  3.Ρυθμοί  4.Γραμμικές  5.Γραμμικές αυτόνομες 6.Bernoulli  7.Ομογενείς  8.Ασυμπτωτικές ιδιότητες 9.Αυτόνομες  10.Σταθερές τιμές 11.Διάγραμμα ροής  12.Ασυμπτωτική ευστάθεια  13.Λογιστικού τύπου  14.Ακριβείς εξισώσεις διαφορικών  15.Ύπαρξη και μοναδικότητα  16.Περιβάλλουσα-Ιδιάζουσες λύσεις 17.Ισοκλινείς-Διακριτο- ποίηση  18.Λύση με σειρές  19.Διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης 20.Διαφορικά συστήματα 1ης τάξης  21.Μερικές διαφορικές εξισώσεις  22.Ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις  23.Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις

 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ   395-444

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ.