Παναγιώτης Κατερίνης

Ηλίας Φλυτζάνης

 

Ανώτερα Μαθηματικά

ΤΟΜΟΣ Β

 

Α΄ Έκδοση

 

 

Εκδότης: Μπένου Γ.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Αριθμός σελίδων: 408

 

Κωδικός ISBN: 9608249752 (SET9789608249721)

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Τόμος: 2/2

 

Κωδ. Εύδοξος: 53612

 

Έτος έκδοσης: 2010

 

 

 ► παρουσίαση

 

Το βιβλίο "Ανώτερα Μαθηματικά " απευθύνεται στους προπτυχιακούς φοιτητές των πανεπιστημιακών σχολών που ενδιαφέρονται στις εφαρμογές των μαθηματικών. Αποτελείται από δύο τόμους και το περιεχόμενο τους αντιστοιχεί στην ύλη μαθημάτων που καλύπτουν Μαθηματικό Λογισμό και Γραμμική Άλγεβρα. Υπάρχουν και κάποια κεφάλαια που αφορούν πιο προχωρημένα θέματα.

Ειδικότερα ο παρών Β τόμος αφορά κυρίως την γραμμική άλγεβρα και αποτελείται από 20 κεφάλαια. Αρχίζει με το εισαγωγικό κεφάλαιο {Β1} στο οποίο παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι Gauss και Gauss-Jordan, ως βασικά εργαλεία για την επίλυση γραμμικών συστημάτων αλλά και για την αλγοριθμική αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων που παρουσιάζονται στη συνέχεια.

Τα επόμενα δύο κεφάλαια {Β2,Β3} καλύπτουν τις βασικές έννοιες των διανυσματικών χώρων: υπόχωροι, βάσεις, ορθογωνιότητα, καταλήγοντας με την Gram-Schmidt ορθογωνοποίηση. Η παρουσίαση είναι στο γενικό επίπεδο των η διαστάσεων, οπότε θα ήταν σκόπιμη η ταυτόχρονη αναφορά στα δύο πρώτα κεφάλαια του Α τόμου {Α1,Α2} όπου οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στη πιο συγκεκριμένη μορφή των διανυσμάτων του δισδιάστατου επιπέδου και του τρισδιάστατου χώρου.

Ακολουθούν τρία κεφάλαια {Β4,Β5,Β6} στα οποία αναπτύσσεται ο βασικός λογισμός των πινάκων, και παρουσιάζονται σχετικές έννοιες: τάξη, γραμμοχώρος, στηλοχώρος, αντίστροφος, ορίζουσα, με έμφαση στην αλγοριθμική επίλυση των σχετικών προβλημάτων.

Στα κεφάλαια {Β7,Β8} η παραπάνω θεωρία των γραμμικών συστημάτων και των πινάκων εντάσσεται στην γενική θεώρηση των γραμμικών απεικονίσεων. Παρουσιάζονται οι τέσσερεις βασικοί υπόχωροι που συνδέονται με τον πυρήνα και την εικόνα, και εξετάζονται οι σχέσεις ισοδυναμίας και ομοιότητας πινάκων στο πλαίσιο της αλλαγής βάσεων συντεταγμένων.

Το βασικό μέρος της ύλης κλείνει με τα κεφάλαια {Β9,Β10,Β11,Β12} τα οποία ασχολούνται με ειδικές κατηγορίες πινάκων: συμμετρικοί, ορθογώνιοι, ισομετρίες, προβολές, ανακλάσεις, καθώς και με την χρήση των πραγματικών ιδιοτιμών στη μελέτη πινάκων και απεικονίσεων. Επίσης εξετάζονται ελεύθερες και περιορισμένες τετραγωνικές μορφές.

Τα επόμενα τέσσερα κεφάλαια {Β13,Β14,Β15,Β16} καλυπτουν την βασική θεωρία των μιγαδικών πινάκων, μιγαδικών ιδιοτιμών και πινάκων Jordan. Στο πλαίσιο αυτό παρουσιάζονται κάποιες ειδικές κατηγορίες πινάκων: κανονικοί, ερμητιανοί, αντιερμητιανοί, ορθομοναδιαίοι, ενώ μελετώνται και οι ιδιότητες σύγκλισης δυνάμεων πινάκων.

Ακολουθούν δύο κεφάλαια {Β17,Β18} τα οποία καλύπτουν ειδικότερα θέματα που αφορούν παραγοντοποιήσεις πινάκων και γενικευμένους αντίστροφους. Η αντιμετώπιση είναι αλγοριθμική και περιλαμβάνει τον αμοιβαίο και τον Moore-Penrose γενικευμένο αντίστροφο, καθώς και τις βασικές παραγοντοποιήσεις: {LU, LDU, QR, RQ}, Cholesky, την SVD-ιδιάζουσα, την πλήρους τάξης, και την πολική.

Το βιβλο τελειώνει με δύο κεφάλαια εισαγωγής σε πιο προχωρημένα θέματα γραμμικής ανάλυσης {Β19,Β20} τα οποία αφορούν νόρμες και ειδικές κατηγορίες θετικών πινάκων σε σχέση και με τα θεωρήματα Perron και Perron-Frobenius.

Λόγω της φύσης του αντικειμένου, στον δεύτερο αυτό τόμο η κάλυψη της ύλης είναι πιο πλήρης στο θεωρητικό επίπεδο όσον αφορά αποδείξεις, ενώ δίνεται και μεγαλύτερη έμφαση στην αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων.

(από τον πρόλογο των συγγραφέων)

 

 ► περιεχόμενα

 

1. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GAUSS-JORDAN  1-16

1.Συστήματα εξισώσεων 2.Επαυξημένος πίνακας 3.Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί 4.Κλιμακωτή μορφή-Αλγόριθμος Gauss 5.Γενική λύση γραμμικού συστήματος 6.Απλή κλιμακωτή μορφή-Αλγόριθμος Gauss-Jordan 7.Ομογενή συστήματα

 

2. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ  17-34

1.Διανύσματα 2.Ανεξάρτητη συλλογή 3.Υπόχωρος 4.Βάση  5.Ευθύ άθροισμα υπόχωρων 6.Συμπληρωματικοί υπόχωροι 7.Αφινικοί υπόχωροι  8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

3. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ  35-48

1.Εσωτερικό γινόμενο 2.Ορθομοναδιαίες βάσεις 3.Ορθογώνια προβολή  4.Gram-Schmidt ορθογωνοποίηση 5.Όγκος παραλληλεπιπέδων 6.Ορθογώνιο συμπλήρωμα 7.Yπόχωρος συντεταγμένων 8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

4. ΠΙΝΑΚΕΣ  49-70

1.Πίνακας 2.Γινόμενο πινάκων 3.Ανάστροφος 4.Κλιμακωτές μορφές ως προς γραμμές 5.Γραμμοχώρος 6.Βάσεις σε κανονική μορφή 7.Τάξη 8.Πίνακες πλήρους τάξης 9.Στοιχειώδεις πίνακες 10.Πίνακες Στήλες-Γραμμές 11.Εξώτερο γινόμενο-Πίνακες τάξης   12.Σύνθετοι ή διαμερισμένοι πίνακες 13.Ευθύ άθροισμα πινάκων 14.Ευθύ ή Kronecker γινόμενο πινάκων 15.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

5. ΟΡΙΖΟΥΣΑ  71-84

1.Τετραγωνικός πίνακας  2.Τριγωνικοί πίνακες  3.Ιχνος 4.Συνδυαστική 5.Μεταθέσεις 6.Ορίζουσα  7.Υπολογισμός ορίζουσας 8.Σύνθετος τετραγωνικός πίνακας 9.Δευτερεύουσα διαγώνιος 10.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

6. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ  85-104

1.Ομαλός 2.Γραμμοισοδυναμία-Στηλοισοδυναμία 3.Ελάσσονες ορίζουσες 4.Συμπαράγοντες 5.Ανάπτυγμα ορίζουσας 6.Αντίστροφος 7.Υπολογισμός αντίστροφου  8.Τετραγωνικά συστήματα  9.Βασικές εξισώσεις 10.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

7. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ  105-122

1.Γραμμική απεικόνιση 2.Εικόνα 3.Πυρήνας 4.Συζυγής απεικόνιση 5.Οι τέσσερεις υπόχωροι 6.Επιμορφισμός-Ενδομορφισμός 7.Ισομορφισμός 8.Περιορισμένος ισομορφισμός  9.Γραμμικά συστήματα 10.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

8. ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ  123-140

1.Αλλαγή συντεταγμένων 2.Ορθογώνιοι πίνακες 3.Ισοδύναμοι πίνακες  4.Όμοιοι πίνακες 5.Πίνακες μετάθεσης 6.Γραμμικές απεικονίσεις σε υποχώρους 7.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

9. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ  141-158

1.Αμετάβλητος υπόχωρος 2.Ιδιοτιμές 3.Πραγματικές ιδιοτιμές 4.Ιδιοδιανύσματα 5.Διαγωνοποίηση 6.Αριστερά ιδιοδιανύσματα 7.Χαρακτηριστικό πολυώνυμο 8.Shur θεώρημα τριγωνοποίησης 9.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

10. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ  159-174

1.Συμμετρικός πίνακας 2.Εικόνα και πυρήνας συμμετρικού πίνακα 3.Ιδιοτιμές συμμετρικών πινάκων 4.Τετραγωνικές μορφές 5.Χαρακτηρισμός ως προς το πρόσημο 6.Ακραίες ιδιοτιμές 7.Πίνακες Gramm 8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

11. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ  175-196

1.Ισότιμοι πίνακες 2.Κύριες ελάσσονες 3.Περιορισμένες τετραγωνικές μορφές 4.Πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας 5Εσσιανός πίνακας 6.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

12. ΠΡΟΒΟΛΕΣ-ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ  197-220

1.Στοιχειώδεις απεικονίσεις 2.Διαστολές 3.Ισομετρίες 4.Περιστροφές 5.Προβολές 6.Ανακλάσεις 7.Πλάγιες προβολές 8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

13. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  221-232

1.Τετραγωνικές μορφές 2.Εσσιανός πίνακας 3.Χαρακτηρισμός ελεύθερων στάσιμων 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές

14. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ  233-250

 

1.Μιγαδικά διανύσματα 2.Μιγαδικοί πίνακες 3.Μιγαδικά συστήματα 4.Μιγαδικές ιδιοτιμές 5.Αναστροφοσυζυγής 6.Μιγαδική διαγωνοποίηση 7.Κανονικός πίνακας 8.Πραγματική πολική μορφή 9.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

15. ΠΙΝΑΚΕΣ JORDAN  251-270

1.Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα 2.Γενικευμένος πυρήνας 3.Στοιχειώδης  μηδενοδύναμος πίνακας 4.Μηδενοδύναμος 5.Στοιχειώδεις πίνακες Jordan 6.Απλοί πίνακες Jordan 7.Κανονική μορφή Jordan 8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

16. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ  271-288

1.Δυνάμεις 2.Συναρτήσεις πινάκων 3.Δυνάμεις πινάκων Jordan 4.Ελάχιστο πολυώνυμο 5.Θεώρημα Cayley-Hamilton 6.Σύγκλιση δυνάμεων-Ευστάθεια 7.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

17. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ  289-308

1. Παραγοντοποίηση 2.Cholesky παραγοντοποίηση. 3.Παραγοντοποίηση πλήρους τάξης 4. παραγοντοποίηση  5.Παραγοντοποίηση ισοδυναμίας 6.SVD-Ιδιάζουσα Παραγοντοποίηση 7.Πολική παραγοντοποίηση 8.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

18. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ  309-332

1 .Γενικευμενος αντίστροφος 2.Αμοιβαίος (reflexive) γενικευμένος αντίστροφος i.Moore-Penroiie γενικευμένος αντίστροφος 4.Λύσεις ελάχιστων τετραγώνων. 5. Υπολογισμός γενικευμένων αντιστρόφων 6. Αλγόριθμοι γενικευμένων αντίστροφων λ. Αλγόριθμοι Moore-Penrose αντιστρόφου 8.Υπολογισμός ορθογώνιας προβολής  9.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

 

19. ΝΟΡΜΕΣ

1.Νόρμες διανυσμάτων 2.Νόρμες πινάκων 3.Φάσμα πίνακα

 

20. ΘΕΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ  339-350

1.Θετικά διανύσματα και πίνακες 2.Όρια ακολουθιών 3.Γνήσια θετικοί πίνακες 4.Κατευθυνομενο γράφημα 5.Θετικός διαχωρίσιμος ό.Πρωτόγονος

 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ  351-390

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 391-394