Παναγιώτης Κατερίνης

Ηλίας Φλυτζάνης

 

Ανώτερα Μαθηματικά

 

 

Α΄ Έκδοση

 

 

Εκδότης: Μπένου Γ.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Αριθμός σελίδων: 1068

 

Κωδικός ISBN: 9789608249905

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Κωδ. Εύδοξος: 22766750

 

Έτος έκδοσης: 2012

 

 

 

 

 

 ► παρουσίαση

 

Το βιβλίο "Ανώτερα Μαθηματικά " απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές των πανεπιστημιακών σχολών που ενδιαφέρονται στις εφαρμογές των μαθηματικών, ιδίως σε θέματα Οικονομικών και Διοικητικών Επιστημών και Πληροφορικής, καθώς και σε όσους σκοπεύουν να παρακολουθήσουν ένα μεταπτυχιακό πρόγραμμα σαυτές τις κατευθύνσεις. Το περιεχόμενο αντιστοιχεί στην ύλη τριών εξαμήνων και καλύπτει Μαθηματικό Λογισμό, Γραμμική Άλγεβρα και Γραμμική Δυναμική. Στο τέλος δίνονται σε χωριστά κεφάλαια και κάποιες εφαρμογές σε θέματα της οικονομικής επιστήμης. Χωρίζεται σε τέσσερα μέρη, σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους, ως εξής: Μαθηματικός Λογισμός Αποτελείται από δεκατρία κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία της παραγώγου και του ολοκληρώματος συναρτήσεων. Ειδικότερα:

I. Στα πρώτα έξι κεφάλαια {1-6} παρουσιάζεται η θεωρία για συναρτήσεις μιας μεταβλητής με έμφαση σε θέματα κυρτότητας και βελτιστοποίησης.

II. Στα επόμενα επτά κεφάλαια {7-13} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για συναρτήσεις δύο και περισσοτέρων μεταβλητών, με έμφαση σε θέματα που αφορούν ισοσταθμικές, (οιονεί) κυρτότητα και βελτιστοποίηση.

Γραμμική Άλγεβρα

Αποτελείται από δεκαέξι κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία των διανυσματικών χώρων και των πινάκων, ως εξής:

III. Στα πρώτα οκτώ κεφάλαια {14-21}, αρχίζοντας με τον αλγόριθμο Gauss-Jordan παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες των διανυσματικών χώρων (υπόχωροι, βάσεις, ορθογωνιότητα, Gram-Schmidt ορθογωνοποίηση), και των πινάκων (τάξη, γραμμοχώρος, στηλοχώρος, αντίστροφος, ορίζουσα). Στη συνέχεια τα παραπάνω εντάσσονται στο γενικότερο πλαίσιο των γραμμικών απεικονίσεων, όπου παρουσιάζονται οι τέσσερεις βασικοί υπόχωροι που συνδέονται με τον πυρήνα και την εικόνα, και εξετάζονται οι σχέσεις ισοδυναμίας και ομοιότητας πινάκων στο πλαίσιο της αλλαγής βάσεων.

IV. Στα επόμενα οκτώ κεφάλαια {22-29} εξετάζονται ορισμένες ειδικές κατηγορίες πινάκων (συμμετρικοί, ορθογώνιοι, ισομετρίες, προβολές, ανακλάσεις), με βασικό εργαλείο τις πραγματικές ιδιοτιμές. Επίσης καλύπτονται ελεύθερες και περιορισμένες τετραγωνικές μορφές. Τέλος δίνεται η βασική θεωρία των μιγαδικών πινάκων, μιγαδικών ιδιοτιμών και πινάκων Jordan, και εξετάζονται πρόσθετες κατηγορίες πινάκων (κανονικοί, ερμητιανοί, αντιερμητιανοί, ορθομοναδιαίοι). Μελετώνται και κάποιες ιδιότητες σύγκλισης.

Γραμμική Δυναμική

Αποτελείται από οκτώ κεφάλαια που αφορούν κυρίως την δυναμική θεωρία των γραμμικών εξισώσεων και γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές, σε συνεχή και σε διακριτό χρόνο, με ιδιαίτερη έμφαση στη μελέτη ταλαντώσεων. Ειδικότερα:

V. Στα πρώτα τέσσερα κεφάλαια {30-33} παρουσιάζεται η σχετική θεωρία για διαφορικές εξισώσεις και συστήματα, σε συνεχή χρόνο.

VI. Στα επόμενα τέσσερα κεφάλαια {34-37} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για αναδρομικές εξισώσεις και συστήματα σε διακριτό χρόνο. Τα δύο τμήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους με αποτέλεσμα να υπάρχει σημαντική αλληλοεπικάλυψη εννοιών και τεχνικών. Για οικονομία στην παρουσίαση μελετώνται μόνο συστήματα με δύο εξισώσεις. Για ορισμένα διαγράμματα χρησιμοποιήθηκε το MATHEMATICA.

Παράρτημα

Αποτελείται από είκοσι τέσσερα κεφάλαια που καλύπτουν ειδικά θέματα της θεωρίας και ορισμένες εφαρμογές σε προβλήματα της οικονομίας, ως εξής:

VII. Τα ειδικά θέματα περιέχονται στα πρώτα δέκα κεφάλαια {Π1-Π10}, από τα οποία τα δύο πρώτα αποτελούν μια εισαγωγή στην γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και είναι συνοδευτικά του Μαθηματικού Λογισμού και της Γραμμικής Άλγεβρας. Ακολουθούν κεφάλαια σε ειδικότερα θέματα του Μαθηματικού Λογισμού (σειρές Taylor, ελαστικότητα, ομογενείς συναρτήσεις, συνθήκες Kuhn-Tucker) και της Γραμμικής Άλγεβρας όπου η αντιμετώπιση είναι αλγοριθμική και περιλαμβάνει τις βασικές παραγοντοποιήσεις (L U,LDU,QR,RQ, Cholesky, SVD-ιδιάζουσα, πλήρους τάξης, πολική), καθώς και τους γενικευμένους αντιστρόφους (αμοιβαίο και Moore-Penrose). Υπάρχουν και δύο κεφάλαια εισαγωγής σε πιο προχωρημένα θέματα Γραμμικής Ανάλυσης (νόρμες, θετικοί πίνακες, θεωρήματα Perron-Frobenius).

VIII. Στα τελευταία δεκατέσσερα κεφάλαια {Π11-Π24} παρουσιάζονται απλές εφαρμογές σε θέματα Οικονομικής και Διοικητικής Επιστήμης (βασικές συναρτήσεις, μεγιστοποίηση κέρδους, βελτιστοποίηση στην παραγωγή και στην κατανάλωση, ελαστικότητα υποκατάστασης, ολιγοπώλια, βελτιστοποίηση διαχρονική και με αβεβαιότητα, ανατοκισμός σε διακριτό και σε συνεχή χρόνο, δυναμικά υποδείγματα τύπου Solow και IS-LM, συστήματα εισροών-εκροών τύπου Leontief, λήμματα Hotelling-Shephard). Τελειώνοντας θέλουμε να ευχαριστήσουμε τον συνεργάτη μας στο Τμήμα Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών Αναστάσιο Σούλη για την βοήθειά του σε όλα τα στάδια προετοιμασίας του βιβλίου, καθώς και τους μεταπτυχιακούς φοιτητές που βοήθησαν κατά καιρούς στη διδασκαλία του σχετικού μαθήματος στο τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών: Βαβαρούτσο Γ., Δενδραμή Γ., Θεοχάρη Λ., Καζάνα Α., Κιουλάφα Μ., Λαπατίνα Α., Μπουλτσή Η., Σαμψώνη Κ., Φρατζέσκο Ε., Χρόνη Γ., Θεοχάρη Λ.

Αθήνα 2012, Παναγιώτης Κατερίνης    Ηλίας Φλυτζάνης

 

 ► περιεχόμενα

 

ΚΕΦΑΛΑΙΑ

Μαθηματικός Λογισμός

Ι. Λογισμός μιας μεταβλητής

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ   15

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ   29

3. ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ   49

4. ΑΚΡΟΤΑΤΑ   61

5. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ   75

6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ   93

 ΙΙ. Λογισμός πολλών μεταβλητών

7. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ   117

8. ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ   139

9. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ LAGRANGE   161

10.ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ  183

11.ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ  195

12.ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ  209

13.ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 227

Γραμμική Άλγεβρα

ΙΙΙ. Διανυσματικοί Χώροι-Πίνακες

14. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GAUSS-JORDAN  245

15. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ  259

16. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ  277

17. ΠΙΝΑΚΕΣ  291

18. ΟΡΙΖΟΥΣΑ  313

19. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ  325

20. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ  345

21. ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ  365

IV. Ιδιοτιμές

22. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ  385

23. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ  403

24. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ  417

25. ΠΡΟΒΟΛΕΣ-ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ  437

26. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ  461

27. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ  471

28. ΠΙΝΑΚΕΣ JORDAN  489

29. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ  509

Γραμμική Δυναμική

V. Διαφορικές Εξισώσεις

30. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης ΤΑΞΗΣ   531

31. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ης ΤΑΞΗΣ   553

 32. ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1ης ΤΑΞΗΣ   573

 33. ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ  591

VI. Αναδρομικές Εξισώσεις

34. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης ΤΑΞΗΣ  615

 35. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ης ΤΑΞΗΣ  635

 36. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1ης ΤΑΞΗΣ  657

37. ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ  677

Παράρτημα

VII. Ειδικά Θέματα

Π1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ   697

Π2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ   713

Π3. ΣΕΙΡΕΣ-ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR   737

Π4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ   751

Π5. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ  771

Π6. ΣΥΝΘΗΚΕΣ KUHN-TUCKER (K-T)  787

Π7. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ  799

Π8. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ  819

Π9. ΝΟΡΜΕΣ  841

Π10. ΘΕΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ  847

VIII. Εφαρμογές στα Οικονομικά

Π11. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι  857

Π12. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II  879

Π13. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι  891

Π14. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ II   903

Π15. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ  917

Π16. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ  935

Π17. ΟΛΙΓΟΠΩΛΙΟ  951

Π18. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ  963

Π19. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ AΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ  971

Π20. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ  981

Π21. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ  993

Π22. ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ IS-LM  1003

Π23. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ  1019

Π24. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ, ΛΗΜΜΑ HOTELLING  1025

Βιβλιογραφία   1039

Ευρετήριο   1041