Καβουσανός  Εμμανουήλ

 

 

Εφαρμογές Μαθηματικού Λογισμού σε Επιχειρησιακά Οικονομικά Προβλήματα

 

Δ΄ Έκδοση

 

 

Εκδότης: Μπένου Γ.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Αριθμός σελίδων: 576

 

Κωδικός ISBN: 9789608249936

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Κωδ. Εύδοξος: 22766752

 

Έτος έκδοσης: 2012

 

 

 

 

 

 

 ► παρουσίαση

 

Η παρούσα έκδοση του βιβλίου διαφέρει από την προηγούμενη –Γ  Έκδοση- ως προς τα ακόλουθα. Έχουν διορθωθεί όσα λάθη εντοπίσθηκαν στην προηγούμενη έκδοση. Έχουν προστεθεί δύο κεφαλαία με σημαντικές εφαρμογές σε οικονομικά και επιχειρηματικά προβλήματα. Αυτά είναι τα κεφάλαια για διαφορικές εξισώσεις και για εξισώσεις διαφοράς.

Στην έκδοση αυτή του βιβλίου έχουν βοηθήσει με τα σχόλια τους οι συνάδελφοι Στέλιος Μπεκίρος και Ανδριανός Τσεκρεκος. Ιδιαίτερες ευχαριστίες αξίζουν στην κυρία Χαρά Αλεξανδρή για την βοήθεια της στην μετατροπή ενός δύσκολου κειμένου σε ηλεκτρονική μορφή. Βεβαίως κανένας από τους παραπάνω δεν είναι υπεύθυνος για τυχόν παραλείψεις ή λάθη, που μπορεί να υπάρχουν ακόμα. Θερμές ευχαριστίες για την άριστη συνεργασία μας προς τον εκδοτικό οίκο Ευγ. Μπενου.

Μανώλης Γ. Καβουσανός

Αθήνα, Απρίλιος 2012

 ► περιεχόμενα

 

Πίνακας Διαγραμμάτων        20

Πίνακας Γραφημάτων     23

Πίνακας Πινάκων    25

Πρόλογος Δ'    έκδοσης     27

Πρόλογος Γ'    έκδοσης    28

Πρόλογος Β' έκδοσης     29

Πρόλογος Δ' έκδοσης     32

Μαθηματικά σύμβολα     37

Συντομογραφίες     39

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγή στο Excel     41

1.1    Εισαγωγή     41

1.2    Το φύλλο εργασίας     42

1.3    Μαύρισμα (επιλογή) κελιών     44

1.4    Το Μενού Εντολών     45

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλγεβρα — Εισαγωγικά     49

2.1    Εισαγωγή     49

2.2    Ακέραιοι     53

2.3    Κλάσματα     53

2.3.1    Πράξεις με κλάσματα     54

2.3.2    Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων     55

2.3.3    Πολλαπλασιασμός κλασμάτων     57

2.3.4    Διαίρεση κλασμάτων     57

2.3.5    Κάποιες ειδικές πράξεις κλασμάτων     58

2.4    Δεκαδικοί     58

2.5    Στρογγυλοποίηση αριθμών     59

2.6    Ποσοστά     61

2.7    Άρρητοι αριθμοί     62

2.8    Απόλυτη τιμή      63

2.9    Πολλαπλασιασμός και διαίρεση μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών    64

2.10    Αλγεβρικές πράξεις     64

2.11    Σειρά των πράξεων     65

2.12    Δυνάμεις     65

2.12.1    Κανόνες εκθετών / δυνάμεων     66

2.12.2    Κλασματικές δυνάμεις (Ριζικοί)     66

2.12.3    Ιδιότητες των ριζικών     67

2.12.4    Λύσεις εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες     67

2.13    Πράξεις οι οποίες περιέχουν πολυώνυμα     68

2.13.1    Παραγοντοποίηση     70

2.13.2    Κοινοί τύποι πολυωνύμων     70

2.14    Ανισότητες      71

2.14.1    Εισαγωγή      71

2.14.2    Κανόνες ανισοτήτων     73

2.14.3    Λύση απλών ανισοτήτων     74

2.15    Τελεστές άθροισης     74

2.15.1    Μονές αθροίσεις     74

2.15.2    Διπλές αθροίσεις     75

2.16    Ακολουθίες     77

2.16.1    Αριθμητικές πρόοδοι     78

2.16.2    Γεωμετρικές πρόοδοι     80

2.17    Γροφήματα - Διαγράμματα     85

Ασκήσεις για λύση     88

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συναρτήσεις     93

3.1    Εισαγωγή     93

3.2    Σταθερές συναρτήσεις     95

3.2.1    Οριακά έσοδα     97

3.3    Γραμμικές συναρτήσεις     98

3.3.1    Ο συντελεστής κλίσης μιας ευθείας γραμμής     103

3.3.2    Η εξίσωση μίας ευθείας γραμμής η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία     106

3.3.3    Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με γνωστή κλίση και η οποία διέρχεται από ένα γνωστό σημείο     108

3.3.4    Απόσταση μεταξύ δύο σημείων της ευθείας     109

3.4    Περισσότερες εφαρμογές     109

3.4.1    Υπολογισμός κόστους     109

3.4.2    Πρόβλημα εφοδιαστικής αλυσίδας     110

3.4.3    Ένα επενδυτικό πρόβλημα     111

3.4.4    Ένα πρόβλημα καταμερισμού διαλέξεων στις διαθέσιμες αίθουσες     111

3.5    Τετραγωνικές συναρτήσεις – Παραβολές    111

3.5.1    Οι ρίζες μίας τετραγωνικής εξίσωσης    114

3.5.2    Εφαρμογή: Καμπύλη ζήτησης τετραγωνικής μορφής     118

3.6    Κυβικές συναρτήσεις    120

3.6.1    Ρίζες της κυβικής συνάρτησης    121

3.7    Πολυώνυμα    123

3.8    Ρητές συναρτήσεις    123

3.9    Συναρτήσεις υπερβολής     123

3.10    Εκθετικές συναρτήσεις    125

3.10.1    Ιδιότητες της συνάρτησης y = ax       127

3.10.2    Εκθετικές συναρτήσεις με βάση e    127

3.10.3    Εφαρμογές εκθετικών συναρτήσεων    131

3.10.3.1    Η αξία του χρόνου ζωής ενός  εξοπλισμού     131

3.10.3.2    Επιτόκιο ανατοκισμού     131

3.11    Αντίστροφες συναρτήσεις    134

3.12    Λογαριθμικές συναρτήσεις    134

3.12.1    Ιδιότητες των λογαρίθμων    136

3.12.2    Ασκήσεις εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων    137

3.12.3    Ιδιότητες και γραφική απεικόνιση λογαριθμικών συναρτήσεων    138

3.13    Συνδυασμοί συναρτήσεων    140

3.14    Σύνθετες συναρτήσεις    141

3.15    Πεπλεγμένες συναρτήσεις    142

3.16    Βαθμός ομοιογένειας μιας συνάρτησης (παραγωγής)    143

3.17    Ισοϋψείς καμπύλες    144

Ασκήσεις για λύση    145

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Συστήματα Εξισώσεων  150

4.1    Εισαγωγή    150

4.2    Γραφική λύση    151

4.3    Λύση σε μορφή πίνακα     153

4.4    Μαθηματική λύση     153

4.4.1    Η Μέθοδος της απαλοιφής    153

4.4.2    Η μέθοδος της αντικατάστασης       154

4.5    Κάποια περαιτέρω παραδείγματα    155

4.5.1    Ένα αριθμητικό παράδειγμα    155

4.5.1.1    Λύση με αντικατάσταση     155

4.5.1.2    Λύση με απαλοιφή     155

4.5.2    Η εξίσωση μιας ευθείας η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία    156

4.6    Σύνολο πιθανών λύσεων για συστήματα εξισώσεων (2x2)    157

4.7    Λύσεις σε συστήματα εξισώσεων με διαστάσεις μεγαλύτερες από (2 x 2)    158

4.8    Ένα (3 χ 3) σύστημα εξισώσεων: Καθορισμός της συνάρτησης προσφοράς δευτέρου βαθμού για κάποιο προϊόν    159

4.9    Γενικά (m χ η) συστήματα    160

4.10    Εφαρμογές    161

4.10.1    Σημείο ισορροπίας σε αγορά με μη γραμμικές συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης 161

4.10.2    Σημείο ισορροπίας για περισσότερες από μια αγορές    162

4.10.3    Ανάλυση νεκρού σημείου    166

4.10.4    Μη γραμμική ανάλυση νεκρού σημείου        170

4.10.5    Ανάλυση νεκρού σημείου για επιχειρήσεις που παράγουν περισσότερα του ενός προϊόντων   173

Ασκήσεις για λύση    177

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πίνακες /Γραμμική Άλγεβρα    180

5.1    Εισαγωγή    180

5.2    Ειδικές μορφές πινάκων - Ορισμοί    182

5.3    Ιδιότητες των ανάστροφων πινάκων    187

5.4    Η ορίζουσα ενός πίνακα    189

5.4.1    Η ορίζουσα ενός (2 x 2) πίνακα      190

5.4.2    Η ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα υψηλότερων διαστάσεων από (2 χ 2)     193

5.4.3    Χρήσιμοι ορισμοί    196

5.4.4    Ιδιότητες των οριζουσών    196

5.5    Πράξεις πινάκων     201

5.5.1    Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων     201

5.5.2    Ιδιότητες της πρόσθεσης πινάκων     203

5.5.3    Βαθμωτός πολλαπλασιασμός     204

5.5.4    Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων και εσωτερικά γινόμενα     205

5.5.5    Πολλαπλασιασμός πινάκων     209

5.5.6    Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων     214

5.5.7    Ο αντίστροφος ενός πίνακα     217

Ασκήσεις για λύση     224

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα και εφαρμογές τους     226

6.1    Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα     226

6.1.1    Λύση συστημάτων εξισώσεων μέσω αντιστροφής πινάκων     229

6.1.2    Κανόνας του Cramer     230

6.2    Εφαρμογές     232

6.2.1    Παράδειγμα παραγωγής ενός    ναυπηγείου     232

6.2.2    Επέκταση του παραδείγματος    του ναυπηγείου     235

6.2.3    Ανάλυση εισροών - εκροών     237

6.2.4    Υποδείγματα κατανομής εισαγωγών     242

6.3    Προσδιορισμός του είδους λύσης σε συστήματα εξισώσεων της μορφής ΑΧ = Β, πριν από την επίλυσή τους     247

6.3.1    Εισαγωγή      247

6.3.2    Τετραγωνικός πίνακας, A     248

6.3.3    Μη τετραγωνικός πίνακας A     250

6.3.4    Λύσεις σε ομογενή συστήματα    εξισώσεων    251

6.3.5    Περίληψη     253

6.4    Χαρακτηριστικές εξισώσεις, ρίζες και διανύσματα πίνακα     254

Ασκήσεις για λύση     261

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Ανάλυση I: Παραγώγιση — Διαφορικός Λογισμός  265

7.1    Όρια συναρτήσεων     265

7.1.1    Κανόνες ορίων     268

1.2    Η κλίση της καμπύλης μιας συνάρτησης και η παραγωγός     271

7.3    Κανόνες παραγώγισης     275

7.4    Οικονομικές εφαρμογές     279

7.4.1    Η συνάρτηση ζήτησης ως σύνθετη συνάρτηση της τιμής και του    χρόνου     279

7.4.2    Σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών     280

7.4.3    Ελαστικότητες της ζήτησης     285

7.4.4    Ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή     289

7.5    Ακρότατα (ή στάσιμα) σημεία συναρτήσεων     290

7.5.1    Οικονομικές και άλλες εφαρμογές     298

7.5.1.1    Αύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις     298

7.5.1.2    Κυρτότητα συναρτήσεων, ακρότατα και σημεία καμπής        298

7.5.1.3    Σειρές του Taylor και του Maclaurin     300

7.5.1.3.1    Σειρές του Taylor     300

7.5.1.3.2    Σειρές του Maclaurin     301

7.5.1.4    Νεοκλασικό πρόβλημα της επιχείρησης - Μεγιστοποίηση του κέρδους     302

7.5.1.5    Διοίκηση αποθεμάτων     304

7.5.1.6    Τιμολόγηση προϊόντος σε διαφοροποιημένες αγορές     305

7.5.1.7    Ποσότητα οικονομικής παραγγελίας     307

Ασκήσεις για λύση     311

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Ανάλυση I: Παραγώγιση – Πολυμεταβλητές Συναρτήσεις   315

8.1    Συναρτήσεις με περισσότερες από μια μεταβλητές

— Εισαγωγή      315

8.2    Μερικές Παράγωγοι     315

8.3    Κανόνες μερικής παραγώγισης     317

8.3.1    Γινόμενα συναρτήσεων     317

8.3.2    Κλάσματα συναρτήσεων     317

8.3.3    Δυνάμεις συναρτήσεων      318

8.3.4    Σύνθετες συναρτήσεις — Αλυσωτός κανόνας     319

8.3.5    Άλλοι κανόνες μερικής παραγώγισης     319

8.4    Διαφορικό          320

8.4.1    Ολικό και μερικό διαφορικό     320

8.5    Ολική Παράγωγος     321

8.5.1    Σύνθετες συναρτήσεις — Ολική παράγωγος και αλυσωτός κανόνας     322

8.5.2    Ολική παράγωγος συναρτήσεων με n μεταβλητές     323

8.5.3    Άλλοι κανόνες ολικών παραγώγων     324

8.6    Πεπλεγμένες συναρτήσεις     324

8.7    Οικονομική εφαρμογή - Η συνάρτηση Cobb-Douglas     325

8.8    Εφαρμογή μερικών παραγώγων στη διερεύνηση της λύσης μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων     326

8.9    Ακρότατα σημεία συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών: y = f (x, z)       328

8.10    Ακρότατα σημεία πολυμεταβλητών συναρτήσεων:

y = f(x1, …, xn)     334

8.11    Βελτιστοποίηση υπό συνθήκη     336

8.11.1    Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου     336

8.11.2    Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου     340

Ασκήσεις για λύση     345

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Ανάλυση II: Ολοκλήρωση — Ολοκληρωτικός Λογισμός     349

9.1    Εισαγωγή     349

9.2    Κανόνες ολοκλήρωσης — Αόριστο ολοκλήρωμα       351

9.2.1    Βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης     351

9.2.2    Ολοκλήρωση με αντικατάσταση       354

9.2.3    Ολοκλήρωση κατά παράγοντες      355

9.3    Ορισμένο ολοκλήρωμα     357

9.3.1    Ολοκλήρωση ως διαδικασία αθροίσματος     357

9.3.2    Ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων     358

9.4    Εφαρμογές     360

9.4.1    Υπολογισμός πιθανοτήτων     360

9.4.2    Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού     361

9.4.3    Υπολογισμός συνολικού (εσόδου/κόστους) από οριακό (έσοδο/κόστος)       365

9.4.4    Υπολογισμός σωρευτικών ποσών από αύξουσες     και φθίνουσες διαδικασίες  366

9.4.5    Υπολογισμός Παρούσας Αξίας Χρηματοροών   367

Ασκήσεις για λύση    368

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: Διαφορικές Εξισώσεις     371

10.1     Εισαγωγή      371

10.2     Εισαγωγικοί ορισμοί και έννοιες    371

10.3    Διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρώματα     374

10.4     Λύσεις διαφορικών εξισώσεων      378

10.5     Γενικός τόπος υπολογισμού της λύσης των διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης    (first-order linear differential  equations)     390

10.6.     Ειδικές διαφορικές εξισώσεις        396

10.6.1    Ακριβείς ή άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις (Exact differential equations)    396

10.6.2    Μη ακριβείς ή μη-άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις και παράγοντες

ολοκλήρωσης (integrating factors)    399

10.6.2.1    Προσδιορισμός του παράγοντα ολοκλήρωσής (integrating factor) σε μια μη ακριβή διαφορική εξίσωση    400

10.6.3    Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές (Separated Variables)       402

10.6.4    Εξισώσεις Bernoulli    405        ,

10.7     Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, της μορφής  d2y/dt 2= k, όπου k σταθερά     410

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Εξισώσεις Διάφορος    412

11.1    Εισαγωγή      412

11.2    Ορολογία      413

11.3     Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφοράς πρώτης τάξης      415

11.4    Δυναμική ευστάθεια (stability)    των γραμμικών εξισώσεων διαφοράς    419

11.5    Οικονομικές Εφαρμογές των εξισώσεων διαφοράς    427

11.5.1    Επένδυση ποσού χρημάτων και η μελλοντική του αξία     427

11.5.2    Το υπόδειγμα του ιστού της αράχνης (cobweb model) για ισορροπία στην αγορά των νεότευκτων πλοίων        428

11.5.3    Διαμόρφωση τιμών ως συνάρτηση της υπερβάλλουσας προσφοράς στην αγορά προϊόντος     433

11.5.4    Κατανάλωση των νοικοκυριών ως συνάρτηση του εισοδήματος τους      434

11.6    Εισαγωγή στις εξισώσεις διαφοράς δεύτερης τάξης     436

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Αριθμοδείκτες     439

12.1    Εισαγωγή     439

12.2    Αστάθμητοι δείκτες     440

12.2.1    Απλός τιμάριθμος (ένα αγαθό)     440

12.2.2    Απλός γενικός (συνολικός) τιμάριθμος (περισσότερα από ένα αγαθά)     442

12.2.3    Δείκτης μέσης σχετικής τιμής     443

12.3    Σταθμικοί δείκτες      444

12.3.1    Δείκτης τιμών του Laspeyres     445

12.3.2    Δείκτης τιμών του Paasche     448

12.3.3    Δείκτης τιμών Fisher ή Ιδανικός δείκτης     450

12.3.4    Δείκτης τιμών σταθμισμένος σύμφωνα με το έτος βάσης     450

12.3.5    Δείκτης τιμών με σταθερή στάθμιση     452

12.4    Αλυσωτοί δείκτες τιμών     454

12.5    Ενοποίηση δεικτών     456

12.6    Εφαρμογή: Χρηματιστηριακοί δείκτες τιμών     458

Ασκήσεις για λύση     462

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά     465

13L1    Προβλήματα μιας επένδυσης     465

13.1.1    Εισαγωγή     465

13.1.2    Προβλήματα μελλοντικής αξίας       466

13.1.2.1    Απλό επιτόκιο     466

13.1.2.2    Σύνθετος ανατοκισμός    467

13.1.2.2.1    Συχνός ανατοκισμός    471

13.1.2.2.2    Συχνός ανατοκισμός: Ετησιοποιημένα επιτόκια ή ισοδύναμα ετήσια επιτόκια      471

13.1.2.2.3    Διαρκής ανατοκισμός      472

13.1.3    Προβλήματα παρούσας αξίας    474

13.1.3.1    Συντελεστής προεξόφλησης  ή αναγωγής    474

13.1.3.2    Προεξόφληση συχνότερη από μία φορά το έτος, διακριτή     478

13.1.3.3    Διαρκής (συνεχής) προεξόφληση    478

13.1.4    Προβλήματα εσωτερικού βαθμού απόδοσης    480

13.1.4.1    ΕΒΑ. Προεξοφλήσεις συχνότερες από μια φορά στο έτος     480

13.1.4.2    ΕΒΑ: Διαρκώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο    481

13.2    Προβλήματα ραντών (Πολλαπλών επενδύσεων)       482

13.2.1    Εισαγωγή     482

13.2.2    Τελική αξία - Μη σταθερές ράντες (Ανισόποσες ταμειακές ροές)       483

13.2.3    Προβλήματα παρούσας αξίας    484

13.2.4    Προβλήματα βαθμού απόδοσης    485

13.2.4.1    Βαθμός απόδοσης    485

13.2.4.2    Εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ)    485

13.2.5    Σταθερές ράντες (Ισόποσες ταμειακές ροές) στο διηνεκές    486

13.2.5.1    Παρούσα αξία σταθερής ράντας στο διηνεκές    487

13.2.5.2    Πρόσκαιρες σταθερές ράντες – Ισόποσες ροές στο πεπερασμένο μέλλον     488

13.2.5.2.1    Παρούσα αξία πρόσκαιρης σταθερής ράντας    489

13.2.5.2.2    Μελλοντική αξία σταθερής πρόσκαιρης ράντας      491

13.2.5.2.3    Τοκοχρεολύσια και βαθμός απόδοσης κεφαλαίου     493

13.3    Περίληψη    496

13.4     Εφαρμογές της ανάλυσης των προεξοφλημένων χρηματικών ροών ή χρηματορροών ανηγμένων σε παρούσες αξίες       498

13.4.1    Αξιολόγηση επενδύσεων    498

13.4.1.1    Τεχνικές αξιολόγησης επενδύσεων —Το κριτήριο της ΚΠΑ    498

13.4.1.2    Εναλλακτικά κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων: ΕΒΑ, Διάρκεια αποπληρωμής    499

13.4.2    Αποτίμηση αξιόγραφων       500

13.4.2.1    Ομολογίες και μετοχές    500

13.4.2.2    Προβλήματα ομολογιών   500

13.4.2.2.1    Εισαγωγή   500

13.4.2.2.2    Αποτίμηση Ομολογιών   501

13.4.2.3    Προβλήματα μετοχών    502

13.4.2.3.1    Αποτίμηση μετοχών: Το υπόδειγμα του Gordon   502

13.4.2.3.2    Απόδοση στη λήξη ομολογίας    503

13.4.3    Περίληψη    504

Ασκήσεις για λύση   505

Απαντήσεις των ασκήσεων για λύση   50

 

Ευρετήριο    567