Ηλίας Φλυτζάνης

 

 

Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι

 

B΄ Έκδοση

 

 

 

Εκδότης: Μπένου Γ.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Αριθμός σελίδων: 568

 

Κωδικός ISBN: 9789608249981

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Κωδ. Εύδοξος: 50660000

 

Έτος έκδοσης: 2015

 

 

 

 

 

 

 ► παρουσίαση

Το βιβλίο «Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι» απευθύνεται στους πρωτοετείς φοιτητές των Τμημάτων Οικονομικής Επιστήμης. Χωρίζεται σε τέσσερα μέρη:

1. Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

2. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

3. Ειδικά Θέματα

4. Εφαρμογές στα Οικονομικά

Τα πρώτα δύο μέρη {1,2} περιέχουν την βασική ύλη ενός εξαμηνιαίου μαθήματος Μαθηματικού Λογισμού για Οικονομολόγους, χωρισμένη σε 8 κεφάλαια: {1α, 1β, 1γ, 1δ}, {2α, 2β, 2γ, 2δ}. Το κάθε κεφάλαιο αντιστοιχεί σε μάθημα 1.5 εβδομάδας. Το τρίτο μέρος είναι ένα παράρτημα Ειδικών Θεμάτων χωρισμένο σε 12 κεφάλαια {Θ1...Θ12} που καλύπτουν πιο προχωρημένα θέματα, κατάλληλα για όσους σκοπεύουν να συνεχίσουν με ένα μεταπτυχιακό πρόγραμμα στην Οικονομική Επιστήμη. Εκτός από τα παραπάνω 8 κεφάλαια, στην βασική ύλη ενός εξαμήνου εντάσσεται συνήθως και το κεφάλαιο Θ10 από τα Ειδικά Θέματα που αποτελεί μια εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξεως. Στο τέταρτο μέρος δίνονται ενδεικτικές Εφαρμογές σε διάφορες περιοχές της Οικονομικής Ανάλυσης. Αποτελείται από 12 κεφάλαια {ΕΙ ...ΕΙ2}, σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους.

Ειδικότερα, το πρώτο μέρος {1} καλύπτει την βασική θεωρία της παραγώγου και του ολοκληρώματος για συναρτήσεις μιας μεταβλητής με σχετικά γρήγορο ρυθμό, προϋποθέτοντας κάποια προηγούμενη εξοικείωση με τις βασικές συναρτήσεις. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε έννοιες που αφορούν ποσοστιαίες μεταβολές όπως η ελαστικότητα, και ο σχετικός ρυθμός, καθώς και σε έννοιες που αφορούν την κυρτότητα συναρτήσεων σε σχέση με προβλήματα βελτιστοποίησης. Το δεύτερο μέρος {2} καλύπτει την θεωρία της μερικής παραγώγισης για συναρτήσεις κυρίως δύο μεταβλητών με έμφαση στη μελέτη των ισοσταθμικών και του ρυθμού υποκατάστασης καθώς και του Εσσιανού και του πλαισιωμένου Εσσιανού πίνακα σε σχέση με τα προβλήματα βελτιστοποίησης. Το τρίτο μέρος των Ειδικών Θεμάτων καλύπτει σε μεγαλύτερη έκταση θέματα που αφορούν κυρτότητα, οιονεί κυρτότητα, περιβάλλουσες, και ελαστικότητα υποκατάστασης, καθώς και θέματα βελτιστοποίησης με ανισοτικούς περιορισμούς και συνοριακά ακρότατα. Περιέχει επίσης ενότητες που αναφέρονται στα πολυώνυμα Taylor, στο διπλό ολοκλήρωμα, καθώς και ένα κεφάλαιο εισαγωγής σε διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξεως. Τέλος, για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ανεξάρτητα, δίνεται και μια συνοπτική παρουσίαση εννοιών από την Γραμμική Άλγεβρα που αφορούν διανύσματα πίνακες, ορίζουσες, τετραγωνικές μορφές, και διανυσματικές μεταβλητές. Τέλος, στις Εφαρμογές παρουσιάζονται οι βασικές συναρτήσεις της Οικονομικής Ανάλυσης, και διερευνάται η χρήση τους κυρίως σε θέματα βελτιστοποίησης στην παραγωγή και στην κατανάλωση.

Γενικά, η έμφαση είναι περισσότερο στην κατανόηση των εννοιών παρά στη μαθηματική θεμελίωση. Έτσι αποφεύγονται οι πολλές αναφορές σε θέματα συνέχειας των συναρτήσεων και των παραγώγων τους. Τέτοιες γνώσεις αποκτώνται καλλίτερα σένα μεταγενέστερο στάδιο στα πλαίσια ενός κανονικού μαθήματος Μαθηματικής Ανάλυσης ή Τοπολογίας. Επίσης οι αποδείξεις είναι σχηματικές και περιορίζονται σ’ αυτές που μπορούν να συμβάλλουν στην κατανόηση της ύλης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτών των σημειώσεων είναι ο πλήρης διαχωρισμός της μαθηματικής θεωρίας από τις εφαρμογές της. Διαπιστώθηκε ότι αυτός ο διαχωρισμός διευκολύνει τους φοιτητές σ’ αυτή την πρώτη ουσιαστική επαφή τους με αμφότερα τα αντικείμενα. Επίσης επιτρέπει τον συνδυασμό της ίδιας θεωρίας με άλλες εφαρμογές. Βέβαια στις παραδόσεις είναι σκόπιμο αυτά τα δύο να συνδέονται. Εξάλλου πολλά παραδείγματα στη θεωρία έχουν την αφετηρία τους στις αντίστοιχες εφαρμογές. Αναλόγως του διαθέσιμου χρόνου και του επιπέδου, από τα Ειδικά Θέματα και τις Εφαρμογές μπορεί να γίνει κάποια επιλογή για παρουσίαση ή και για ανάθεση εργασιών. Καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε τα διάφορα κεφάλαια να είναι όσο το δυνατό ανεξάρτητα, με αποτέλεσμα να υπάρχει κάποια επικάλυψη της ύλης, ιδίως στα Ειδικά Θέματα και στις Εφαρμογές.

Τελειώνοντας, θέλω να ευχαριστήσω τον συνεργάτη μου στο Τμήμα Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών Αναστάσιο Σούλη για την βοήθειά του σε όλα τα στάδια προετοιμασίας αυτού του βιβλίου, καθώς και τους μεταπτυχιακούς φοιτητές που βοήθησαν κατά καιρούς στη διδασκαλία του σχετικού μαθήματος στο τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών: Βαβαρούτσο Γ., Καζάνα Α., Κιουλάφα Μ., Ααπατίνα Α., Μπουλτσή Η., Σαμψώνη Κ., Χρόνη Γ., Φρατζέσκο Ε., Δενδραμή Γ, και Θεοχάρη Α.

 

Ηλίας Φλυτζάνης

Αθήνα 2015

 

 ► περιεχόμενα

 

ΠΡΟΛΟΓΟΣ   12

 

ΜΕΡΟΣ 1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Α. Παράγωγος

1α.1 Βασικές συναρτήσεις   17

1 .Συναρτήσεις  2.Θετικές δυνάμεις  3.Αρνητικές δυνάμεις  4.Εκθετική 5. Λογαριθμική 6.Αλλαγή βάσης 7.Πολυωνυμικές 8.Ρητές 9.Τριγωνομετρικές 10.Τμηματικά ορισμένες

1α.2 Ιδιότητες των συναρτήσεων   27

1. Σύνθεση  2. Μετασχηματισμοί  3.Μονοτονία  4.Αντίστροφες  5.Αντίστροφες τριγωνομετρικές  6.Συνεχής  7.Μηδενικά

1α.3 Παραγώγιση   35

1.Κλίση 2.Μεταβολές 3.Ρυθμός μεταβολής 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5.Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7. Παράγωγος αντιστρόφου 8. Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών

1α.4 Ιδιότητες της παραγωγού  44

1.Μονοτονία 2.Στάσιμα 3.Ασυνέχειες της παραγώγου 4.Κανόνας L’Hopital 5.Γραμμική προσέγγιση 6.Διαφορικά

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Β. Ρυθμοί Μεταβολής

1β.1 Εξισώσεις   55

1.Πλεγμένες συναρτήσεις 2.Πλεγμένη παραγώγιση 3.Μετασχηματισμοί 4.Παραμετρικές Εξισώσεις 5.Σχετιζόμενοι ρυθμοί

1β.2 Κυρτές περιοχές   63

1.Ευθεία 2.Έλλειψη 3.Ανισότητες 4.Κυρτή περιοχή 5.Κυρτός συνδυασμός 6.Κυρτοποίηση 7.Γραμμική παρεμβολή

1β.3 Ελαστικότητα   70

1 .Ελαστικότητα 2.Ισοελαστικότητα 3. Γραφή μα ελαστικότητας 4.Ομογένεια  5.Ελαστικότητα αντίστροφης 6.Ελαστικότητα γραμμικών 7.Ποσοστιαία διαφορικά

1β.4 Σχετικός ρυθμός   78

1. Σχετικός ρυθμός  2.Σταθεροί ρυθμοί, 3.Λογαριθμική κλίμακα 4.Ημιλογαριθμική κλίμακα 5.Αρνητικά μεγέθη 6.Εκτιμήσεις ρυθμών 7.Πράξεις ρυθμών 8.Σύνθεση ρυθμών

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Γ. Βελτιστοποίηση

1γ.1 Κυρτές/Κοίλες συναρτήσεις   83

1.Δεύτερη παράγωγος 2.Κυρτές συναρτήσεις 3.Κοίλες συναρτήσεις  4.Σημεία καμπής 5.Παραβολική προσέγγιση

1γ.2 Ακρότατα   89

1. Ολικά ακρότατα 2. Τοπικά ακρότατα  3.Συνθήκες  4.Αναγκαίες συνθήκες  5.Ικανές συνθήκες  6.Αλγόριθμος για ακρότατα 7.Ακρότατα με περιορισμούς

1γ.3 Ολικά ακρότατα   96

1 .Αναγκαίες και ικανές συνθήκες  2.Κυρτός Προγραμματισμός (CP)

1γ.4 Παράμετροι   101

1. Παράμετροι 2. Παραδείγματα

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Δ. Ολοκλήρωμα

1δ.1 Παράγουσες   107

1.Ορισμένο ολοκλήρωμα 2.Παράγουσα 3.Θεμελιώδες θεώρημα 4.Αόριστο ολοκλήρωμα

1δ.2 Τεχνικές ολοκλήρωσης   112

1.Βασικά ολοκληρώματα, 2.Γραμμικότητα 3. Αλλαγή μεταβλητής 4.Ολοκλήρωση κατά μέρη 5.Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών 6.Ολοκληρώματα ρητών 7.Αντίστροφες τριγωνομετρικές

1.δ.3 Γενικευμένο ολοκλήρωμα   119

1.Μη φραγμένο διάστημα 2.Μη φραγμένη συνάρτηση 3.Χρήσιμα γενικευμένα ολοκληρώματα 4.Κριτήριο σύγκρισης

1δ.4 Αριθμητική ολοκλήρωση   123

1.Εμβαδό τραπεζίου 2.Κανόνας τραπεζίου 3.Αθροίσματα Riemann

 

ΜΕΡΟΣ 2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Α. Μερικές Παραγωγοί

2α.1 Μερική παραγώγιση   131

1 .Συναρτήσεις δύο μεταβλητών 2.Ceteris Paribus 3. Μερικές παράγωγοι 4.Διαφορικά 5.Ειδικές συναρτήσεις 6.Περισσότερες μεταβλητές

2α.2 Αλυσωτή παραγωγός   138

1.Απλή σύνθεση 2.Αλυσωτή παραγώγιση 3.Τελικές και ενδιάμεσες μεταβλητές 4.Δένδρο εξάρτησης 5.Λογισμός διαφορικών 6.Θεμελιώδης σχέση

2α.3 Πλεγμένη παραγωγός   146

1.Ρυθμός υποκατάστασης 2.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 3. Διαφορικά

2α.4 Ιακωβιανές ορίζουσες   152

1.Συστήματα εξισώσεων 2.Δύο εξισώσεις 3.Ιακωβιανές ορίζουσες 4. Εξισώσεις διαφορικών 5.Ορίζουσες 6.Κανόνας Cramer

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Β. Ισοσταθμικές

2β.1 Γραφήματα ισοσταθμικών   157

1.Γραφήματα συναρτήσεων 2.Ισοσταθμικές 3.Εξαρτημένες συναρτήσεις 4.Περισσότερες μεταβλητές

2β.2 Ρυθμός υποκατάστασης  164

1.Κλίση ισοσταθμικών 2.Κυρτότητα ισοσταθμικών 3.Περισσότερες μεταβλητές

2β.3 Διανυσματική κλίση (grad)   169

1.Σταθμικές περιοχές 2.Διανυσματική παράγωγος-Ιακωβιανή 3.Κατεύθυνση αύξησης 4.Στάσιμα σημεία 5.Μονότονες συναρτήσεις 6.Οιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 7.Μετατόπιση καμπύλων 8. Περισσότερες μεταβλητές

2β.4 Ομογενείς συναρτήσεις   177

1.Μερικές ελαστικότητες 2.Ποσοστιαία διαφορικά 3..Ελαστικότητα κλίμακας 4.Πλεγμένη ελαστικότητα 5.Ομογενής μηδενικού βαθμού 6.Ομογενής βαθμού κ 7.Απόδοση κλίμακας 8.Ισοσταθμικές ομογενών

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Γ. Ελεύθερη Βελτιστοποίηση

2γ.1 Εσωτερικά ακρότατα   187

1.Ολικά και τοπικά ακρότατα 2.Αναγκαίες και ικανές συνθήκες 3.Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 4.Στάσιμα 6.Περισσότερες μεταβλητές

2γ.2 Τετραγωνικές μορφές   194

1 .Τετραγωνικές μορφές 2.Συμμετρικοί πίνακες 3. Περισσότερες μεταβλητές

2γ.3 Εσσιανός πίνακας   199

1.Εσσιανός πίνακας 2. Ελεύθερα ακρότατα 3. Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 4.Σαγματικά σημεία 5. Περισσότερες μεταβλητές

2γ.4 Μεταβολή παραμέτρων   207

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Α. Περιορισμένη Βελτιστοποίηση

2δ.1 Πολλαπλασιαστές Lagrange   213

1.Ισοτικός περιορισμός 2.Γεωμετρική λύση 3. Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Περισσότεροι περιορισμοί

2δ.2 Περιορισμένες τετραγωνικές μορφές  222

1.Περιορισμένες τετραγωνικές μορφές 2.Πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες 3.Περισσότερες μεταβλητές

2δ.3 Πλαισιωμένος Εσσιανός πίνακας  227

1 .Περιορισμένα ακρότατα 2. Γραμμικός περιορισμός 3.Περισσότερες μεταβλητές

2δ.4 Παράμετροι στον περιορισμό  235

1.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή 2. Περιορισμένη περιβάλλουσα 3.Εξάρτηση της λύσης από την παράμετρο

 

ΜΕΡΟΣ 3

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Θ1 Ανάπτυγμα Taylor, Διαφορικά   243

1. Γραμμική προσέγγιση 2.Παραβολική προσέγγιση 3.Σειρά Taylor 4.Διαφορικά 5. Αλυσωτή παραγώγιση 1ης και 2ης τάξεως 6.Περιορισμένα διαφορικά 7.Δύο μεταβλητές 8.Πλεγμένη παραγώγιση 9. Κυρτότητα ισοσταθμικών 10.Μετατόπιση καμπύλων

Θ2 Κυρτότητα   255

1 .Χαρακτηρισμός κυρτότητας σε μια μεταβλητή 2.Χαρακτηρισμός κυρτότητας σε δύο μεταβλητές 3. Ολικά ακρότατα με κυρτότητα 4. Ιδιότητες κυρτότητας 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Αντίστροφες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων

Θ3 Οιονεί Κυρτότητα   266

1 .Γεωμετρικός χαρακτηρισμός οιονεί κυρτότητας με μια μεταβλητή 2. Γεωμετρικός χαρακτηρισμός οιονεί κυρτότητας με δύο μεταβλητές 3. 3. Περιορισμένα ολικά ακρότατα με οιονεί κυρτότητα 4.Πλαισιωμένος Εσσιανός πίνακας 5.Αναλυτικός χαρακτηρισμός οιονεί κυρτότητας με δύο μεταβλητές 6. Ιδιότητες της οιονεί κυρτότητας 7.Κυρτότητα ισοσταθμικών 8.Περισσότερες μεταβλητές

Θ4 Ελαστικότητα Υποκατάστασης   277

1.Ιδιότητες ομογενών 2.Ελαστικότητα υποκατάστασης 3.Ιδιότητες της ελαστικότητας υποκατάστασης 4.Ομοθετικές συναρτήσεις 5.Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES)

Θ5 Συνθήκες Kuhn-Tucker   286

1 .Συμπληρωματική χαλαρότητα 2.Ένας ανισοτικός περιορισμός 3.Συνθήκες Kuhn-Tucker (Κ-Τ) 4.Πολλοί ανισοτικοί περιορισμοί

Θ6 Συνοριακά Ακρότατα  298

1.Συνοριακές λύσεις 2.Θετικότητες 3.Μαθηματικός Προγραμματισμός (ΜΡ)

Θ7 Κυρτός Προγραμματισμός (CP)   308

1.Κυρτός Προγραμματισμός (CP) 2.Γραμμικός Προγραμματισμός (LP) 3. Ολικά ακρότατα στη θετική περιοχή 4.0ιονεί-Κυρτός Προγραμματισμός (QCP) 5.Ολικά ακρότατα με ισοτικούς περιορισμούς

Θ8 Περιβάλλουσα   316

1.Πάνω και κάτω περιβάλλουσα 2.Θεώρημα πάνω και κάτω περιβάλλουσας 4. Πάνω και κάτω περιβάλλουσα με δύο παραμέτρους 5.Περιορισμένη περιβάλλουσα

Θ9 Διπλό Ολοκλήρωμα   329

1.Κανόνας Leibnitz 2.Γενικός κανόνας Leibnitz 3.Συνάρτηση Γάμμα 4. Διπλό ολοκλήρωμα 5.Διαδοχικό ολοκλήρωμα 6.Αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης 7.Ορθογώνιες περιοχές 8.Πολικές συντεταγμένες 9.Συνάρτηση Gauss

Θ10 Διαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξεως   341

1.Γενική λύση 2.Χωριζόμενες μεταβλητές 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5. Γραμμικές αυτόνομες 6.Bernoulli 7.Ασυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές 10.Διάγραμμα ροής 11 .Ασυμπτωτική ευστάθεια 12.Λογιστικού τύπου 13.Διακριτοποίηση

Θ11 Πίνακες-Ορίζουσες-Τετραγωνικές Μορφές  355

1.Διανύσματα 2. Πίνακες 3.Ανάστροφος πίνακας 4.Γινόμενο πινάκων 5.0ρίζουσα 6. Κανονικοί πίνακες 7.Αντίστροφος πίνακας 8.Γραμμικά συστήματα 9.Υπόχωροι 10.Κανόνας Cramer 11.γραμμικές & Τετραγωνικές μορφές 12.Πρόσημο τετραγωνικών μορφών και συμμετρικών πινάκων 13.Περιορισμένες τετραγωνικές μορφές

Θ12 Διανυσματικές Μεταβλητές   373

1 .Συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής 2.1ακωβιανή παράγωγος 3. Μερική Ιακωβιανή παράγωγος 4.Διανυσματικές συναρτήσεις 5. Αλυσωτή παραγώγιση ό.Εξισώσεις-Πλεγμένες συναρτήσεις 7.Ελισσιανός πίνακας 8. Ανάπτυγμα Taylor 9. Τένσορες 10.Τοπικά ακρότατα 11. Περιορισμένα τοπικά ακρότατα

 

ΜΕΡΟΣ 4

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

Ε1 Συναρτήσεις στα Οικονομικά   387

1.Κόστος 2.Παραγωγή 3.Χρησιμότητα 4.Ζήτηση-Προσφορά

Ε2 Μεγιστοποίηση Κέρδους   396

1.Έσοδο 2.Κέρδος ανταγωνιστικής παραγωγής 3.Κέρδος με συντελεστή παραγωγής

Ε3 Πλεονάσματα  407

1.Πλεόνασμα καταναλωτή 2.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

Ε4 Ελαστικότητες στα Οικονομικά  414

1.Παραδείγματα αναλυτικά 2.Παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα κόστους-παραγωγής 4.Ελαστικότητα ζήτησης 5. Ελαστικότητα προσφοράς 6.Έσοδο 7.Φορολογία

Ε5 Συναρτήσεις στα Οικονομικά II  431

1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής 2.Εκροές-Παραγόμενα προϊόντα 3. Εσωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6. Βελτιστοποίηση

Ε6 Μεγιστοποίηση Κέρδους II  444

1.Δύο εισροές-Μία εκροή 2.Παραγωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-Μία εισροή, Συνοριακές λύσεις 4.Διαφοροποίηση τιμών 5.Εσωτερικότητες 6.Εισροές-Εκροές

Ε7 Βελτιστοποίηση στην Κατανάλωση  459

1.Εισοδηματικός περιορισμός 2.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας 3.Γραμμική χρησιμότητα 4.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου C-D 5. Χρησιμότητα τύπου Leontief-min 6.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας- Κανονικές συναρτήσεις ζήτησης κατά Marshall  7.Τροχιές ανάπτυξης 8. Καμπύλη Engel-Ομοθετική χρησιμότητα 9. Καμπύλη Engel- Ημιγραμμική χρησιμότητα 10.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone- Geary 11.Μή Αγαθά 12.Ελαχιστοποίηση δαπάνης-Αντισταθμισμένη ζήτηση κατά Hicks

Ε8 Ελαστικότητα Υποκατάστασης   478

1.Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή 2.Ομογενείς συναρτήσεις παραγωγής 3.Ελαστικότητα υποκατάστασης συντελεστών 4.Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης 5.Παραγωγή σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης 6.Υποκατάσταση προϊόντων στο κόστος 7.Ομογενείς συναρτήσεις κόστους 8. Ελαστικότητα υποκατάστασης προϊόντων 9. Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης προϊόντων 10.Κόστος σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης

Ε9 Συνεχής Ανατοκισμός-Δυναμική   497

1.Ετήσιος ανατοκισμός 2.Ονομαστικό επιτόκιο 3.Πραγματικό επιτόκιο 4 .Χρόνος διπλασιασμού 5.Συνεχής ανατοκισμός 6.Παρούσα αξία ροής ".Εξέλιξη δημόσιου χρέους 6.Νεοκλασσικό υπόδειγμα ανάπτυξης κατά Solow

Ε10 Ολιγοπώλιο  510

1.Ολιγοπώλιο τύπου Cournot, με ταυτόχρονη επιλογή 2.Ολιγοπώλιο τύπου Stackelberg, με διαδοχική επιλογή 3.Σύμπραξη τύπου cartel. 4.Παράδειγμα 5.Συνεργατική ισορροπία τύπου Pareto 6.Μη συνεργατική ισορροπία τύπου Nash

E 11 Διαχρονική Βελτιστοποίηση   522

1 .Διαχρονική βελτιστοποίηση 2.Αποταμίευση χωρίς τόκο 3.Δάνειο χωρίς τόκο 4.Αποταμιευτής-Δανειολήπτης με τόκο

Ε12 Βελτιστοποίηση με Αβεβαιότητα  530

1 .Αβεβαιότητα 2.Δείκτης χρησιμότητας 3.Χαρακτηρισμός παικτών 4.Ασφάλιση 5.Πλήρης ασφάλιση 6.Δείκτες επιφυλακτικότητας Arrow- Pratt

 

Ασκήσεις  543-558

Ευρετήριο 559-564