Καβουσανός  Εμμανουήλ

 

 

Εφαρμογές Μαθηματικού Λογισμού σε Επιχειρησιακά & Οικονομικά Προβλήματα

παρουσίαση με την χρήση του Excel

 

Ε΄ Έκδοση

 

 

Εκδότης: Μπένου Ε.

 

Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο

 

Αριθμός σελίδων: 576

 

Κωδικός ISBN: 978-960-359-161-0

 

Διαστάσεις: 24 × 17 εκ.

 

Κωδ. Εύδοξος: 94644774

 

Έτος έκδοσης: 2012

 

 

 

 

 

 

 ► παρουσίαση

 

Στην παρούσα έκδοση του βιβλίου έχουν διορθωθεί όσα λάθη εντοπίσθηκαν στην προηγούμενη έκδοση και έχουν δοθεί περισσότερες εξηγήσεις σε κάποιες έννοιες που καλύπτει το βιβλίο. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την κυρία Στέλλα Μωυσιάδου για την πολύτιμη βοήθειά της στις παραπάνω βελτιώσεις. Βεβαίως για περαιτέρω τυχόν παραλείψεις ή λάθη είμαι αποκλειστικά υπεύθυνος. Θερμές ευχαριστίες για την άριστη συνεργασία μας προς τον εκδοτικό οίκο Ευγ. Μπένου.

Μανώλης Γ. Καβουσανός

Αθήνα, Απρίλιος 2012

 ► περιεχόμενα

 

Πίνακας Διαγραμμάτων    18

Πίνακας Γραφημάτων   21

Πίνακας Πινάκων   23

Πρόλογος Ε' έκδοσης   25

Πρόλογος Λ' έκδοσης   27

Πρόλογος Γ' έκδοσης   27

Πρόλογος Β' έκδοσης   29

Πρόλογος A' έκδοσης   33

Μαθηματικά σύμβολα   37

Συντομογραφίες   39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγή στο Excel  41

1.1 Εισαγωγή    41

1.2 Το φύλλο εργασίας   42

1.3 Μαύρισμα (επιλογή) κελιών  44

1.4 Το Μενού Εντολών    45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλγεβρα — Εισαγωγικά  49

2.1 Εισαγωγή     49

2.2 Ακέραιοι     53

2.3 Κλάσματα     53

2.3.1 Πράξεις με κλάσματα    54

2.3.2 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων  55

2.3.3 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων   57

2.3.4 Διαίρεση κλασμάτων    57

2.3.5 Κάποιες ειδικές πράξεις κλασμάτων  58

2.4 Δεκαδικοί     58

2.5 Στρογγυλοποίηση αριθμών   59

2.6 Ποσοστά     61

2.7 Άρρητοι αριθμοί    62

2.8 Απόλυτη τιμή       63

2.9 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών  64

2.10 Αλγεβρικές πράξεις  64

2.11 Σειρά των πράξεων  65

2.12 Δυνάμεις   65

2.12.1 Κανόνες εκθετών / δυνάμεων  66

2.12.2 Κλασματικές δυνάμεις (Ριζικοί)  66

2.12.3 Ιδιότητες των ριζικών   67

2.12.4 Λύσεις εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες  67

2.13 Πράξεις οι οποίες περιέχουν πολυώνυμα  68

2.13.1 Παραγοντοποίηση   70

2.13.2 Κοινοί τύποι πολυωνύμων  70

2.14 Ανισότητες  71

2.14.1 Εισαγωγή   71

2.14.2 Κανόνες ανισοτήτων   73

2.14.3 Λύση απλών ανισοτήτων  74

2.15 Τελεστές άθροισης  74

2.15.1 Μονές αθροίσεις  74

2.15.2 Διπλές αθροίσεις  75

2.16 Ακολουθίες  77

2.16.1 Αριθμητικές πρόοδοι  78

2.16.2 Γεωμετρικές πρόοδοι  80

2.17 Γραφήματα - Διαγράμματα  85

Ασκήσεις για λύση  88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συναρτήσεις  93

3.1 Εισαγωγή  93

3.2 Σταθερές συναρτήσεις  95

3.2.1 Οριακά έσοδα  97

3.3 Γραμμικές συναρτήσεις  98

3.3.1 Ο συντελεστής κλίσης μιας ευθείας γραμμής  103

3.3.2 Η εξίσωση μίας ευθείας γραμμής η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία  106

3.3.3 Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με γνωστή κλίση και η οποία διέρχεται από ένα γνωστό σημείο  108

3.3.4 Απόσταση μεταξύ δύο σημείων της ευθείας  109

3.4 Περισσότερες εφαρμογές  109

3.4.1 Υπολογισμός κόστους  109

3.4.2 Πρόβλημα εφοδιαστικής αλυσίδας  110

3.4.3 Ένα επενδυτικό πρόβλημα  111

3.4.4 Ένα πρόβλημα καταμερισμού διαλέξεων στις διαθέσιμες αίθουσες  111

3.5 Τετραγωνικές συναρτήσεις — Παραβολές  111

3.5.1 Οι ρίζες μίας τετραγωνικής εξίσωσης  114

3.5.2 Εφαρμογή: Καμπύλη ζήτησης τετραγωνικής μορφής  118

3.6 Κυβικές συναρτήσεις  120

3.6.1 Ρίζες της κυβικής συνάρτησης  121

3.7 Πολυώνυμα  123

3.8 Ρητές συναρτήσεις   123

3.9 Συναρτήσεις υπερβολής  123

3.10 Εκθετικές συναρτήσεις    125

3.10.1 Ιδιότητες της συνάρτησης y = ax    127

3.10.2 Εκθετικές συναρτήσεις με βάση e  127

3.10.3 Εφαρμογές εκθετικών συναρτήσεων  131

3.10.3.1 Η αξία του χρόνου ζωής ενός εξοπλισμού  131

3.10.3.2 Επιτόκιο ανατοκισμού    131

3.11 Αντίστροφες συναρτήσεις  134

3.12 Λογαριθμικές συναρτήσεις  134

3.12.1 Ιδιότητες των λογαρίθμων  136

3.12.2 Ασκήσεις εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων  137

3.12.3 Ιδιότητες και γραφική απεικόνιση λογαριθμικών συναρτήσεων  138

3.13 Συνδυασμοί συναρτήσεων  140

3.14 Σύνθετες συναρτήσεις    141

3.15 Πεπλεγμένες συναρτήσεις  142

3.16 Βαθμός ομοιογένειας μιας συνάρτησης (παραγωγής)  143

3.17 Ισοϋψείς καμπύλες  144

Ασκήσεις για λύση  145

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Συστήματα Εξισώσεων  150

4.1 Εισαγωγή  150

4.2 Γραφική λύση  151

4.3 Λύση σε μορφή πίνακα  153

4.4 Μαθηματική λύση   153

4.4.1 Η Μέθοδος της απαλοιφής  153

4.4.2 Η μέθοδος της αντικατάστασης  154

4.5 Κάποια περαιτέρω παραδείγματα  155

4.5.1 Ένα αριθμητικό παράδειγμα  155

4.5.1.1 Λύση με αντικατάσταση  155

4.5.1.2 Λύση με απαλοιφή  155

4.5.2 Η εξίσωση μιας ευθείας η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία  156

4.6 Σύνολο πιθανών λύσεων για συστήματα εξισώσεων (2x2)  157

4.7 Λύσεις σε συστήματα εξισώσεων με διαστάσεις μεγαλύτερες από (2 x 2)  158

4.8 Ένα (3 χ 3) σύστημα εξισώσεων: Καθορισμός της συνάρτησης προσφοράς δευτέρου βαθμού για κάποιο προϊόν  159

4.9 Γενικά (m χ η) συστήματα  160

4.10 Εφαρμογές  161

4.10.1 Σημείο ισορροπίας σε αγορά με μη γραμμικές συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης  161

4.10.2 Σημείο ισορροπίας για περισσότερες από μια αγορές  162

4.10.3 Ανάλυση νεκρού σημείου  166

4.10.4 Μη γραμμική ανάλυση νεκρού σημείου  170

4.10.5 Ανάλυση νεκρού σημείου για επιχειρήσεις που παράγουν περισσότερα του ενός προϊόντων  173

Ασκήσεις για λύση  177

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πίνακες /Γραμμική Αλγεβρα  180

5.1 Εισαγωγή  180

5.2 Ειδικές μορφές πινάκων — Ορισμοί  182

5.3 Ιδιότητες των ανάστροφων πινάκων  187

5.4 Η ορίζουσα ενός πίνακα  189

5.4.1 Η ορίζουσα ενός (2 χ 2) πίνακα  190

5.4.2 Η ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα υψηλότερων διαστάσεων από (2x2)  194

5.4.3 Χρήσιμοι ορισμοί  197

5.4.4 Ιδιότητες των οριζουσών  197

5.5 Πράξεις πινάκων  202

5.5.1 Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων  202

5.5.2 Ιδιότητες της πρόσθεσης πινάκων  204

5.5.3 Βαθμωτός πολλαπλασιασμός  205

5.5.4 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων και εσωτερικά γινόμενα  206

5.5.5 Πολλαπλασιασμός πινάκων  209

5.5.6 Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων  216

5.5.7 Ο αντίστροφος ενός πίνακα  218

Ασκήσεις για λύση  225

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα και εφαρμογές τους  228

6.1 Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα  228

6.1.1 Λύση συστημάτων εξισώσεων μέσω αντιστροφής πινάκων  231

6.1.2 Κανόνας του Cramer  232

6.2 Εφαρμογές  234

6.2.1 Παράδειγμα παραγωγής ενός ναυπηγείου  234

6.2.2 Επέκταση του παραδείγματος του ναυπηγείου  237

6.2.3 Ανάλυση εισροών — εκροών  239

6.2.4 Υποδείγματα κατανομής εισαγωγών  244

6.3 Προσδιορισμός του είδους λύσης σε συστήματα εξισώσεων της μορφής ΑΧ = Β, πριν από την επίλυσή τους  249

6.3.1 Εισαγωγή   249

6.3.2 Τετραγωνικός πίνακας, A  250

6.3.3 Μη τετραγωνικός πίνακας A  252

6.3.4 Λύσεις σε ομογενή συστήματα εξισώσεων  253

6.3.5 Περίληψη  255

6.4 Χαρακτηριστικές εξισώσεις, ρίζες και διανύσματα πίνακα  256

Ασκήσεις για λύση  263

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Ανάλυση I: Παραγώγιση — Διαφορικός Λογισμός  267

7.1 Όρια συναρτήσεων  267

7.1.1 Κανόνες ορίων  270

1.2 Η κλίση της καμπύλης μιας συνάρτησης και η παραγωγός  273

7.3 Κανόνες παραγώγισης  277

7.4 Οικονομικές εφαρμογές  281

7.4.1 Η συνάρτηση ζήτησης ως σύνθετη συνάρτηση της τιμής και του χρόνου  281

7.4.2 Σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών  282

7.4.3 Ελαστικότητες της ζήτησης  287

7.4.4 Ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή  291

7.5 Ακρότατα (ή στάσιμα) σημεία συναρτήσεων  292

7.5.1 Οικονομικές και άλλες εφαρμογές  300

7.5.1.1 Αύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις  300

7.5.1.2 Κυρτότητα συναρτήσεων, ακρότατα και σημεία καμπής   300

7.5.1.3 Σειρές του Taylor και του Maclaurin  302

7.5.1.3.1 Σειρές του Taylor  302

7.5.1.3.2 Σειρές του Maclaurin  303

7.5.1.4 Νεοκλασικό πρόβλημα της επιχείρησης — Μεγιστοποίηση του κέρδους   304

7.5.1.5 Διοίκηση αποθεμάτων  306

7.5.1.6 Τιμολόγηση προϊόντος σε διαφοροποιημένες αγορές  307

7.5.1.7 Ποσότητα οικονομικής παραγγελίας  309

Ασκήσεις για λύση  313

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Ανάλυση I: Παραγώγιση — Πολυμεταβλητές Συναρτήσεις   317

8.1 Συναρτήσεις με περισσότερες από μια μεταβλητές — Εισαγωγή   317

8.2 Μερικές Παράγωγοι  317

8.3 Κανόνες μερικής παραγώγισης  319

8.3.1 Γινόμενα συναρτήσεων    319

8.3.2 Κλάσματα συναρτήσεων  319

8.3.3 Δυνάμεις συναρτήσεων    320

8.3.4 Σύνθετες συναρτήσεις — Αλυσωτός κανόνας  321

8.3.5 Άλλοι κανόνες μερικής παραγώγισης  321

8.4 Διαφορικό  322

8.4.1 Ολικό και μερικό διαφορικό  322

8.5 Ολική Παράγωγος  323

8.5.1 Σύνθετες συναρτήσεις — Ολική παράγωγος και αλυσωτός κανόνας  324

8.5.2 Ολική παράγωγος συναρτήσεων με η μεταβλητές  325

8.5.3 Άλλοι κανόνες ολικών παραγωγών  326

8.6 Πεπλεγμένες συναρτήσεις  326

8.7 Οικονομική εφαρμογή — Η συνάρτηση Cobb-Douglas  327

8.8 Εφαρμογή μερικών παραγώγων στη διερεύνηση της λύσης μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων  328

8.9 Ακρότατα σημεία συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών: y = f(x, z)  330

8.10 Ακρότατα σημεία πολυμεταβλητών συναρτήσεων: y = f(xi, ...,xn)  336

8.11 Βελτιστοποίηση υπό συνθήκη  338

8.11.1 Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου  338

8.11.2 Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου  342

Ασκήσεις για λύση  348

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Ανάλυση II: Ολοκλήρωση — Ολοκληρωτικός

Λογισμός  353

9.1 Εισαγωγή  353

9.2 Κανόνες ολοκλήρωσης — Αόριστο ολοκλήρωμα  355

9.2.1 Βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης   355

9.2.2 Ολοκλήρωση με αντικατάσταση   358

9.2.3 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες   359

9.3 Ορισμένο ολοκλήρωμα  361

9.3.1 Ολοκλήρωση ως διαδικασία αθροίσματος  361

9.3.2 Ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων  362

9.4 Εφαρμογές  364

9.4.1 Υπολογισμός πιθανοτήτων  364

9.4.2 Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού  365

9.4.3 Υπολογισμός συνολικού (εσόδου/κόστους) από οριακό (έσοδο/κόστος)    369

9.4.4 Υπολογισμός σωρευτικών ποσών από αύξουσες και φθίνουσες διαδικασίες  370

9.4.5 Υπολογισμός Παρούσας Αξίας Χρηματοροών  371

Ασκήσεις για λύση  372

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: Διαφορικές Εξισώσεις  375

10.1 Εισαγωγή  375

10.2 Εισαγωγικοί ορισμοί και έννοιες  375

10.3 Διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρώματα  378

10.4 Λύσεις διαφορικών εξισώσεων  382

10.5 Γενικός τύπος υπολογισμού της λύσης των διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης (first-order linear differential equations)   394

10.6.  Ειδικές διαφορικές εξισώσεις  400

10.6.1 Ακριβείς ή άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις (Exact differential equations)  400

10.6.2 Μη ακριβείς ή μη-άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις και παράγοντες

ολοκλήρωσης (integrating factors)  403

10.6.2.1 Προσδιορισμός του παράγοντα ολοκλήρωσης (integrating factor) σε μια

μη ακριβή διαφορική εξίσωση  404

10.6.3 Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές (Separated Variables)       406

10.6.4 Εξισώσεις Bernoulli  409

10.7 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, της μορφής d2y/dt2=k,, όπου k σταθερά  414

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Εξισώσεις Διαφοράς  416

11.1 Εισαγωγή  416

11.2 Ορολογία  417

11.3 Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφοράς πρώτης τάξης  419

11.4 Δυναμική ευστάθεια (stability) των γραμμικών εξισώσεων διαφοράς  423

11.5 Οικονομικές Εφαρμογές των εξισώσεων διαφοράς  431

11.5.1 Επένδυση ποσού χρημάτων και η μελλοντική του αξία  431

11.5.2 Το υπόδειγμα του ιστού της αράχνης (cobweb model) για ισορροπία στην αγορά των νεότευκτων πλοίων   432

11.5.3 Διαμόρφωση τιμών ως συνάρτηση της υπερβάλλουσας προσφοράς στην αγορά προϊόντος  437

11.5.4 Κατανάλωση των νοικοκυριών ως συνάρτηση του εισοδήματος τους  438

11.6 Εισαγωγή στις εξισώσεις διαφοράς δεύτερης τάξης  440

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Αριθμοδείκτες  443

12.1 Εισαγωγή  443

12.2 Αστάθμητοι δείκτες  444

12.2.1 Απλός τιμάριθμος (ένα αγαθό)  444

12.2.2 Απλός γενικός (συνολικός) τιμάριθμος (περισσότερα από ένα αγαθά)  446

12.2.3 Δείκτης μέσης σχετικής τιμής  447

12.3 Σταθμικοί δείκτες  448

12.3.1 Δείκτης τιμών του Laspeyres  449

12.3.2 Δείκτης τιμών του Paasche  452

12.3.3 Δείκτης τιμών Fisher ή Ιδανικός δείκτης  454

12.3.4 Δείκτης τιμών σταθμισμένος σύμφωνα με το έτος βάσης  454

12.3.5 Δείκτης τιμών με σταθερή στάθμιση  456

12.4 Αλυσωτοί δείκτες τιμών   458

12.5 Ενοποίηση δεικτών   460

12.6 Εφαρμογή: Χρηματιστηριακοί δείκτες τιμών  462

Ασκήσεις για λύση  466

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά  469

13.1 Προβλήματα μιας επένδυσης  469

13.1.1 Εισαγωγή  469

13.1.2 Προβλήματα μελλοντικής αξίας  470

13.1.2.1 Απλό επιτόκιο  470

13.1.2.2 Σύνθετος ανατοκισμός  471

13.1.2.2.1 Συχνός ανατοκισμός  475

13.1.2.2.2 Συχνός ανατοκισμός:  Ετησιοποιημένα επιτόκια ή ισοδύναμα ετήσια

                             επιτόκια  475

13.1.2.2.3 Διαρκής ανατοκισμός  476

13.1.3  Προβλήματα παρούσας αξίας  478

13.1.3.1 Συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής  478

13.1.3.2 Προεξόφληση συχνότερη από μία φορά το έτος, διακριτή  482

13.1.3.3 Διαρκής (συνεχής) προεξόφληση  482

13.1.4 Προβλήματα εσωτερικού βαθμού απόδοσης  484

13.1.4.1 ΕΒΑ: Προεξοφλήσεις συχνότερες από μια φορά στο έτος  484

13.1.4.2 ΕΒΑ: Διαρκώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο  485

13.2 Προβλήματα ραντών (Πολλαπλών επενδύσεων)  486

13.2.1 Εισαγωγή  486

13.2.2 Τελική αξία — Μη σταθερές ράντες (Ανισόποσες ταμειακές ροές)  487

13.2.3 Προβλήματα παρούσας αξίας  488

13.2.4 Προβλήματα βαθμού απόδοσης  489

13.2.4.1 Βαθμός απόδοσης  489

13.2.4.2 Εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ)  489

13.2.5 Σταθερές ράντες (Ισόποσες ταμειακές ροές) στο διηνεκές  490

13.2.5.1 Παρούσα αξία σταθερής ράντας στο διηνεκές  491

13.2.5.2 Πρόσκαιρες σταθερές ράντες — Ισόποσες ροές στο πεπερασμένο μέλλον   492

13.2.5.2.1 Παρούσα αξία πρόσκαιρης σταθερής ράντας  493

13.2.5.2.2 Μελλοντική αξία σταθερής πρόσκαιρης ράντας  495

13.2.5.2.3 Τοκοχρεωλύσια και βαθμός απόδοσης κεφαλαίου  497

13.3 Περίληψη  500

13.4 Εφαρμογές της ανάλυσης των προεξοφλημένων χρηματικών ροών ή χρηματορροών ανηγμένων σε παρούσες αξίες  502

13.4.1 Αξιολόγηση επενδύσεων  502

13.4.1.1 Τεχνικές αξιολόγησης επενδύσεων — Το κριτήριο της ΚΠΑ  502

13.4.1.2 Εναλλακτικά κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων: ΕΒΑ, Διάρκεια αποπληρωμής  503

13.4.2 Αποτίμηση αξιόγραφων  504

13.4.2.1 Ομολογίες και μετοχές  504

13.4.2.2 Προβλήματα ομολογιών    504

13.4.2.2.1 Εισαγωγή  504

13.4.2.2.2 Αποτίμηση Ομολογιών  505

13.4.2.3 Προβλήματα μετοχών  506

13.4.2.3.1 Αποτίμηση μετοχών: Το υπόδειγμα του Gordon  506

13.4.2.3.2 Απόδοση στη λήξη ομολογίας  507

13.4.3 Περίληψη  508

Ασκήσεις για λύση  509

Απαντήσεις των ασκήσεων για λύση  513

Ευρετήριο  571