ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ:
Εισαγωγικές Διαλέξεις

ΠΡΟΛΟΓΟΣ        13

ΜΕΡΟΣ 0

ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ

0α.1  Σύνολα.    17

1. Η έννοια του συνόλου και η σχέση του “ανήκειν”
2. Πληθάριθμος συνόλου, πεπερασμένα σύνολα και απειροσύνολα
3. Σχέσεις μεταξύ συνόλων 4.Πράξεις με σύνολα

0α.2  Συναρτήσεις                         24

1.Η έννοια της συνάρτησης 2.Πράξεις με συναρτήσεις 3.Όριο συνάρτησης

4.Πράξεις με όρια συναρτήσεων 5.Όριο και διάταξη 6.Συνέχεια συνάρτησης

0α.3  Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας.                      38

1.Διανύσματα διάστασης n 2.Πίνακας διάστασης m×n 3.Ανάστροφος πίνακας

4.Γινόμενο πινάκων 5.Ορίζουσα 6.Κανονικοί πίνακες 7.Αντίστροφος πίνακας

8.Γραμμικά συστήματα 9.Κανόνας Cramer

 

ΜΕΡΟΣ 1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Α. Παράγωγος

1α.1  Βασικές συναρτήσεις         51

1.Γενικά στοιχεία 2.Θετικές δυνάμεις 3.Αρνητικές δυνάμεις 4.Εκθετική 5.Λογαριθμική 6.Αλλαγή βάσης 7.Πολυωνυμικές 8.Ρητές9.Τριγωνομετρικές 10.Τμηματικά ορισμένες

1α.2  Ιδιότητες συναρτήσεων     61

1.Πράξεις με συναρτήσεις 2.Μετασχηματισμοί 3.Μονοτονία

4.Αντίστροφες συναρτήσεις 5.Αντίστροφες τριγωνομετρικών συναρτήσεων

6. Μηδενικά 7. Θεώρημα Bolzano

1α.3 Παραγώγιση.          68

1.Κλίση 2.Μεταβολές 3.Ρυθμός μεταβολής 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5.Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Παράγωγος αντίστροφης 8. Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών

1α.4 Ιδιότητες της παραγώγου   77

1.Μονοτονία 2.Στάσιμα 3.Ασυνέχειες της παραγώγου

4.Κανόνας L’Hospital 5.Γραμμική προσέγγιση 6.Διαφορικά

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Β. Ρυθμοί Μεταβολής

1β.1 Εξισώσεις  88

1.Πλεγμένες συναρτήσεις 2.Πλεγμένη παραγώγιση 3.Μετασχηματισμοί 4.Παραμετρικές Εξισώσεις 5.Σχετιζόμενοι ρυθμοί

1β.2 Κυρτές περιοχές     97

1.Ευθεία 2.Έλλειψη 3.Ανισότητες 4.Κυρτή περιοχή

5.Κυρτός συνδυασμός 6.Κυρτοποίηση 7.Γραμμική παρεμβολή

1β.3 Ελαστικότητα         104

1.Ελαστικότητα 2.Ισοελαστικότητα 3.Γραφημα ελαστικότητας

4.Ομογένεια 5.Ελαστικότητα αντίστροφης 6.Ελαστικότητα γραμμικών 7.Ποσοστιαία διαφορικά

1β.4 Σχετικός ρυθμός     112

1.Σχετικός ρυθμός 2.Σταθεροί ρυθμοί, 3.Λογαριθμική κλίμακα 4.Ημιλογαριθμική κλίμακα 5.Αρνητικά μεγέθη 6.Εκτιμήσεις ρυθμών

7.Πράξεις ρυθμών 8.Σύνθεση ρυθμών

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Γ. Βελτιστοποίηση

1γ.1 Κυρτές/Κοίλες συναρτήσεις              117

1.Δεύτερη παράγωγος 2.Κυρτές συναρτήσεις 3.Κοίλες συναρτήσεις

4.Σημεία καμπής 5.Παραβολική προσέγγιση

1γ.2 Ακρότατα  123

1.Ολικά ακρότατα 2.Τοπικά ακρότατα 3.Συνθήκες 4.Αναγκαίες συνθήκες

5.Ικανές συνθήκες 6.Αλγόριθμος για ακρότατα 7.Ακρότατα με περιορισμούς

1γ.3 Ολικά ακρότατα     130

1.Αναγκαίες και ικανές συνθήκες 2.Κυρτός Προγραμματισμός (CP)

1γ.4 Παράμετροι            135

1. Παράμετροι 2. Παραδείγματα

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Δ. Ολοκλήρωμα

1δ.1 Παράγουσες                         140

1.Ορισμένο ολοκλήρωμα 2.Παράγουσα 3.Θεμελιώδες θεώρημα

4.Αόριστο ολοκλήρωμα

1δ.2 Τεχνικές ολοκλήρωσης        145

1.Βασικά ολοκληρώματα, 2.Γραμμικότητα 3.Αλλαγή μεταβλητής 4.Ολοκλήρωση κατά μέρη 5.Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων 6.Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων 7.Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

1δ.3 Γενικευμένο ολοκλήρωμα  152

1.Μη φραγμένο διάστημα 2.Μη φραγμένη συνάρτηση

3.Χρήσιμα γενικευμένα ολοκληρώματα 4.Κριτήριο σύγκρισης

1δ.4 Αριθμητική ολοκλήρωση    156

1.Εμβαδό τραπεζίου 2.Κανόνας τραπεζίου 3.Αθροίσματα Riemann

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ε. Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης                161

1.Γενική λύση 2.Χωριζόμενες μεταβλητές 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμικές αυτόνομες 6.Bernoulli 7.Ασυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές 10.Διάγραμμα ροής 11.Ασυμπτωτική ευστάθεια 12.Εξισώσεις Λογιστικού τύπου 13.Διακριτοποίηση

 

ΜΕΡΟΣ 2

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Α. Μερικές Παράγωγοι

2α.1 Μερική παραγώγιση                         179

1.Συναρτήσεις δύο μεταβλητών 2.Ceteris Paribus 3. Μερικές παράγωγοι 4.Διαφορικά 5.Ειδικές συναρτήσεις 6.Περισσότερες μεταβλητές

2α.2 Αλυσωτή παράγωγος                        186

1.Απλή σύνθεση 2.Αλυσωτή παραγώγιση 3.Τελικές και ενδιάμεσες μεταβλητές

4.Δένδρο εξάρτησης 5.Λογισμός διαφορικών 6.Θεμελιώδης σχέση

2α.3 Πλεγμένη παράγωγος                       194

1.Ρυθμός υποκατάστασης 2.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 3.Διαφορικά

2α.4 Ιακωβιανές ορίζουσες                       200

1.Συστήματα εξισώσεων 2.Δύο εξισώσεις 3.Ιακωβιανές ορίζουσες 4.Εξισώσεις διαφορικών

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Β. Ισοσταθμικές

2β.1 Γραφήματα Ισοσταθμικών               206

1.Γραφήματα συναρτήσεων 2.Ισοσταθμικές 3.Εξαρτημένες συναρτήσεις 4.Περισσότερες μεταβλητές

2β.2 Ρυθμός υποκατάστασης     213

1.Κλίση ισοσταθμικών 2.Κυρτότητα ισοσταθμικών 3.Περισσότερες μεταβλητές

2β.3 Διανυσματική κλίση (grad) 218

1.Σταθμικές περιοχές 2.Διανυσματική παράγωγος-Ιακωβιανή

3.Κατεύθυνση αύξησης 4.Στάσιμα σημεία 5.Μονότονες συναρτήσεις

6.Οιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 7.Μετατόπιση καμπύλων 8.Περισσότερες μεταβλητές

2β.4 Ομογενείς συναρτήσεις      226

1.Μερικές ελαστικότητες 2.Ποσοστιαία διαφορικά 3.Ελαστικότητα κλίμακας 4.Πλεγμένη ελαστικότητα 5.Ομογενής μηδενικού βαθμού 6.Ομογενής βαθμού κ 7.Απόδοση κλίμακας 8.Ισοσταθμικές ομογενών

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Γ. Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς

2γ.1 Εσωτερικά ακρότατα           235

1.Ολικά και τοπικά ακρότατα 2.Αναγκαίες και ικανές συνθήκες

3.Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 4.Στάσιμα 5.Περισσότερες μεταβλητές

2γ.2 Τετραγωνικές μορφές          243

1.Τετραγωνικές μορφές 2.Συμμετρικοί πίνακες 3.Περισσότερες μεταβλητές

2γ.3 Εσσιανός πίνακας                248

1.Εσσιανός πίνακας 2.Εσωτερικά ακρότατα 3.Ολικά ακρότατα κυρτών

/κοίλων συναρτήσεων 4.Σαγματικά σημεία 5.Περισσότερες μεταβλητές

2γ.4 Μεταβολή παραμέτρων      256

1.Μία μεταβλητή επιλογής 2. Περιβάλλουσα 3.Εξάρτηση της λύσης από την παράμετρο 4.Δύο μεταβλητές επιλογής

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Δ. Βελτιστοποίηση με περιορισμούς

2δ.1 Πολλαπλασιαστές Lagrange             262

1.Ισοτικός περιορισμός 2.Γεωμετρική λύση 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange

4.Συνάρτηση Lagrange 5.Περισσότεροι περιορισμοί

2δ.2 Τετραγωνικές μορφές με περιορισμούς       272

1.Τετραγωνικές μορφές με περιορισμούς 2.Πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες 3.Περισσότερες διαστάσεις

2δ.3 Πλαισιωμένος Εσσιανός πίνακας    277

1.Περιορισμένα ακρότατα 2. Γραμμικός περιορισμός 3.Περισσότερες μεταβλητές

2δ.4 Παράμετροι στον περιορισμό          285

1.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 2.Περιορισμένη περιβάλλουσα

3.Εξάρτηση της λύσης από την παράμετρο

 

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ε. Διπλό ολοκλήρωμα          293

1.Κανόνας του Leibnitz 2.Γενικός κανόνας Leibnitz 3.Συνάρτηση Γάμμα

4.Διπλό ολοκλήρωμα 5.Διαδοχικό ολοκλήρωμα 6.Αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης 7.Ορθογώνιες περιοχές 8.Συνάρτηση Gauss

 

ΜΕΡΟΣ 3

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Θ1 Ανάπτυγμα Taylor-Διαφορικά            305

1.Γραμμική προσέγγιση 2.Παραβολική ή τετραγωνική προσέγγιση 3.Σειρά Taylor 4.Διαφορικά 5.Αλυσωτή παραγώγιση 1ης και 2ης τάξης 6.Περιορισμένα διαφορικά 7.Δύο μεταβλητές 8.Πλεγμένη παραγώγιση 9.Κυρτότητα ισοσταθμικών 10.Μετατόπιση καμπύλων

Θ2 Κυρτότητα                                              317

1.Χαρακτηρισμός κυρτότητας σε μια μεταβλητή 2.Χαρακτηρισμός κυρτότητας σε δύο μεταβλητές 3. Ολικά ακρότατα με κυρτότητα 4.Ιδιότητες κυρτότητας 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Αντίστροφες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων

Θ3 Οιονεί Κυρτότητα                                  328

1.Γεωμετρικοί χαρακτηρισμοί οιονεί κυρτότητας σε μια μεταβλητή 2.Γεωμετρικοί χαρακτηρισμοί οιονεί κυρτότητας δύο μεταβλητών 3.Περιορισμένα ολικά ακρότατα με οιονεί κυρτότητα 4.Πλαισιωμένος Εσσιανός πίνακας 5.Αναλυτικός χαρακτηρισμός οιονεί κυρτότητας με δύο μεταβλητές 6.Ιδιότητες της οιονεί κυρτότητας 7.Κυρτότητα ισοσταθμικών 8.Περισσότερες μεταβλητές

Θ4 Ελαστικότητα Υποκατάστασης           338

1.Ιδιότητες ομογενών 2.Ελαστικότητα υποκατάστασης 3.Ιδιότητες της ελαστικότητας υποκατάστασης 4.Ομοθετικές συναρτήσεις 5.Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES)

Θ5 Συνθήκες Kuhn-Tucker                         347

1.Συμπληρωματική χαλαρότητα 2.Ένας ανισοτικός περιορισμός

3.Συνθήκες Kuhn-Tucker (K-T) 4.Πολλοί ανισοτικοί περιορισμοί

Θ6 Συνοριακά Ακρότατα                           358

1.Συνοριακές λύσεις 2.Θετικότητες 3.Μαθηματικός Προγραμματισμός (MP)

Θ7 Κυρτός Προγραμματισμός (CP)           368

1.Κυρτός Προγραμματισμός (CP) 2.Γραμμικός Προγραμματισμός (LP)

3.Ολικά ακρότατα στη θετική περιοχή 4.Οιονεί-Κυρτός Προγραμματισμός

(QCP) 5.Ολικά ακρότατα με ισοτικούς περιορισμούς

Θ8 Περιβάλλουσα                                       376

1.Πάνω και κάτω περιβάλλουσα 2.Θεώρημα πάνω και κάτω

περιβάλλουσας 3.Πάνω και κάτω περιβάλλουσα με δύο παραμέτρους 4.Περιβάλλουσα με περιορισμούς

Θ9 Τετραγωνικές Μορφές-Διανυσματικές μεταβλητές    389

1.Γραμμικές & Τετραγωνικές μορφές 2.Πρόσημο τετραγωνικών μορφών και συμμετρικών πινάκων 3.Τετραγωνικές μορφές με περιορισμούς 4.Συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής 5.Ιακωβιανή παράγωγος 6.Μερική Ιακωβιανή παράγωγος 7.Διανυσματικές συναρτήσεις 8.Αλυσωτή παραγώγιση 9.Εξισώσεις-Πλεγμένες συναρτήσεις 10.Εσσιανός πίνακας 2ης παραγώγου 11.Ανάπτυγμα Taylor 12.Τανυστές 13.Τοπικά ακρότατα 14.Τοπικά ακρότατα με περιορισμούς 15.Πολικές συντεταγμένες

 

ΜΕΡΟΣ 4

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

Ε1 Συναρτήσεις στα Οικονομικά Ι             413

1.Κόστος 2.Παραγωγή 3.Χρησιμότητα 4.Ζήτηση-Προσφορά

Ε2 Μεγιστοποίηση Κέρδους Ι                   422

1.Έσοδο 2.Κέρδος ανταγωνιστικής παραγωγής 3.Κέρδος με συντελεστή παραγωγής

Ε3 Πλεονάσματα                                         433

1.Πλεόνασμα καταναλωτή 2.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα στην ισορροπία Ε4 Ελαστικότητες στα Οικονομικά    440

1.Παραδείγματα αναλυτικά 2.Παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα κόστους-παραγωγής 4.Ελαστικότητα ζήτησης 5.Ελαστικότητα προσφοράς 6.Έσοδο 7.Φορολογία

Ε5 Συναρτήσεις στα Οικονομικά ΙΙ                         457

1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής 2.Εκροές-Παραγόμενα προϊόντα 3.Εξωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6.Βελτιστοποίηση

Ε6 Μεγιστοποίηση Κέρδους ΙΙ                                 470

1.Δύο εισροές-Μία εκροή 2.Παραγωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-Μία εισροή 4.Διαφοροποίηση τιμών 5.Εξωτερικότητες 6.Εισροές-Εκροές

Ε7 Βελτιστοποίηση στην Κατανάλωση                  486

1.Εισοδηματικός περιορισμός 2.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας 3.Γραμμική χρησιμότητα 4.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Cobb-Douglas (C-D) 5.Χρησιμότητα τύπου Leontief-min 6.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας-Κανονική ζήτηση κατά Marshall 7.Τροχιές ανάπτυξης 8.Καμπύλη Engel-Ομοθετική χρησιμότητα 9.Ημιγραμμική χρησιμότητα 10.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary 11.Μη Αγαθά 12.Ελαχιστοποίηση δαπάνης-Αντισταθμισμένη ζήτηση κατά Hicks

Ε8 Ελαστικότητα Υποκατάστασης                          504

1.Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή 2.Ομογενείς συναρτήσεις παραγωγής 3.Ελαστικότητα υποκατάστασης συντελεστών 4.Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης 5.Παραγωγή σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης (CES) 6.Υποκατάσταση προϊόντων στο κόστος 7.Ομογενείς συναρτήσεις κόστους 8.Ελαστικότητα υποκατάστασης προϊόντων 9.Σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης προϊόντων 10.Κόστος σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης

Ε9 Συνεχής Ανατοκισμός-Δυναμική                       522

1.Ετήσιος ανατοκισμός 2.Ονομαστικό επιτόκιο 3.Πραγματικό επιτόκιο

4.Χρόνος διπλασιασμού 5.Συνεχής ανατοκισμός 6.Παρούσα αξία ροής

7.Εξέλιξη δημόσιου χρέους 8.Νεοκλασικό υπόδειγμα ανάπτυξης κατά Solow

Ε10 Ολιγοπώλιο                                                         535

1.Ολιγοπώλιο τύπου Cournot, ταυτόχρονη επιλογή 2.Ολιγοπώλιο τύπου Stackelberg, διαδοχική επιλογή 3.Σύμπραξη τύπου cartel. 4.Παραδείγματα 5.Συνεργατική ισορροπία τύπου Pareto 6.Μη συνεργατική ισορροπία τύπου Nash

Ε11 Διαχρονική Βελτιστοποίηση                              547

1.Διαχρονική βελτιστοποίηση 2.Μόνο αποταμίευση, χωρίς τόκο 3.Αποταμίευση και δάνειο χωρίς τόκο 4.Αποταμιευτής-Δανειολήπτης με τόκο

Ε12 Βελτιστοποίηση με Αβεβαιότητα                   556

1.Αβεβαιότητα 2.Δείκτης χρησιμότητας 3.Χαρακτηρισμός παικτών 4.Ασφάλιση 5.Πλήρης ασφάλιση 6.Δείκτες επιφυλακτικότητας Arrow-Pratt

Ε13 Ασκήσεις                                                              568

Ευρετήριο Μαθηματικών Όρων                              585