Εφαρμογές Μαθηματικού Λογισμού σε Επιχειρησιακά & Οικονομικά Προβλήματα
(παρουσίαση με την χρήση του Excel)

Καβουσανός Εμμανουήλ

 

Ε΄ Έκδοση

 

Εκδότης: Μπένου Ε.
Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο
Αριθμός σελίδων: 576
Κωδικός ISBN: 978-960-359-161-0
Διαστάσεις: 17 × 24 εκ.
Κωδ. Εύδοξος: 112694699

Category:

Στην παρούσα έκδοση του βιβλίου έχουν διορθωθεί όσα λάθη εντοπίσθηκαν στην προηγούμενη έκδοση και έχουν δοθεί περισσότερες εξηγήσεις σε κάποιες έννοιες που καλύπτει το βιβλίο. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την κυρία Στέλλα Μωυσιάδου για την πολύτιμη βοήθειά της στις παραπάνω βελτιώσεις. Βεβαίως για περαιτέρω τυχόν παραλείψεις ή λάθη είμαι αποκλειστικά υπεύθυνος. Θερμές ευχαριστίες για την άριστη συνεργασία μας προς τον εκδοτικό οίκο Ευγ. Μπένου.

Μανώλης Γ. Καβουσανός

Περιεχόμενα

Πίνακας Διαγραμμάτων 18
Πίνακας Γραφημάτων 21
Πίνακας Πινάκων 23
Πρόλογος Ε’ έκδοσης 25
Πρόλογος Λ’ έκδοσης 27
Πρόλογος Γ’ έκδοσης 27
Πρόλογος Β’ έκδοσης 29
Πρόλογος A’ έκδοσης 33
Μαθηματικά σύμβολα 37
Συντομογραφίες 39
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγή στο Excel 41
1.1 Εισαγωγή 41
1.2 Το φύλλο εργασίας 42
1.3 Μαύρισμα (επιλογή) κελιών 44
1.4 Το Μενού Εντολών 45
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Άλγεβρα — Εισαγωγικά 49
2.1 Εισαγωγή 49
2.2 Ακέραιοι 53
2.3 Κλάσματα 53
2.3.1 Πράξεις με κλάσματα 54
2.3.2 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 55
2.3.3 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων 57
2.3.4 Διαίρεση κλασμάτων 57
2.3.5 Κάποιες ειδικές πράξεις κλασμάτων 58
2.4 Δεκαδικοί 58
2.5 Στρογγυλοποίηση αριθμών 59
2.6 Ποσοστά 61
2.7 Άρρητοι αριθμοί 62
2.8 Απόλυτη τιμή 63
2.9 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών 64
2.10 Αλγεβρικές πράξεις 64
2.11 Σειρά των πράξεων 65
2.12 Δυνάμεις 65
2.12.1 Κανόνες εκθετών / δυνάμεων 66
2.12.2 Κλασματικές δυνάμεις (Ριζικοί) 66
2.12.3 Ιδιότητες των ριζικών 67
2.12.4 Λύσεις εξισώσεων που περιέχουν εκθέτες 67
2.13 Πράξεις οι οποίες περιέχουν πολυώνυμα 68
2.13.1 Παραγοντοποίηση 70
2.13.2 Κοινοί τύποι πολυωνύμων 70
2.14 Ανισότητες 71
2.14.1 Εισαγωγή 71
2.14.2 Κανόνες ανισοτήτων 73
2.14.3 Λύση απλών ανισοτήτων 74
2.15 Τελεστές άθροισης 74
2.15.1 Μονές αθροίσεις 74
2.15.2 Διπλές αθροίσεις 75
2.16 Ακολουθίες 77
2.16.1 Αριθμητικές πρόοδοι 78
2.16.2 Γεωμετρικές πρόοδοι 80
2.17 Γραφήματα – Διαγράμματα 85
Ασκήσεις για λύση 88
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συναρτήσεις 93
3.1 Εισαγωγή 93
3.2 Σταθερές συναρτήσεις 95
3.2.1 Οριακά έσοδα 97
3.3 Γραμμικές συναρτήσεις 98
3.3.1 Ο συντελεστής κλίσης μιας ευθείας γραμμής 103
3.3.2 Η εξίσωση μίας ευθείας γραμμής η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία 106
3.3.3 Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με γνωστή κλίση και η οποία διέρχεται από ένα γνωστό σημείο 108
3.3.4 Απόσταση μεταξύ δύο σημείων της ευθείας 109
3.4 Περισσότερες εφαρμογές 109
3.4.1 Υπολογισμός κόστους 109
3.4.2 Πρόβλημα εφοδιαστικής αλυσίδας 110
3.4.3 Ένα επενδυτικό πρόβλημα 111
3.4.4 Ένα πρόβλημα καταμερισμού διαλέξεων στις διαθέσιμες αίθουσες 111
3.5 Τετραγωνικές συναρτήσεις — Παραβολές 111
3.5.1 Οι ρίζες μίας τετραγωνικής εξίσωσης 114
3.5.2 Εφαρμογή: Καμπύλη ζήτησης τετραγωνικής μορφής 118
3.6 Κυβικές συναρτήσεις 120
3.6.1 Ρίζες της κυβικής συνάρτησης 121
3.7 Πολυώνυμα 123
3.8 Ρητές συναρτήσεις 123
3.9 Συναρτήσεις υπερβολής 123
3.10 Εκθετικές συναρτήσεις 125
3.10.1 Ιδιότητες της συνάρτησης y = ax 127
3.10.2 Εκθετικές συναρτήσεις με βάση e 127
3.10.3 Εφαρμογές εκθετικών συναρτήσεων 131
3.10.3.1 Η αξία του χρόνου ζωής ενός εξοπλισμού 131
3.10.3.2 Επιτόκιο ανατοκισμού 131
3.11 Αντίστροφες συναρτήσεις 134
3.12 Λογαριθμικές συναρτήσεις 134
3.12.1 Ιδιότητες των λογαρίθμων 136
3.12.2 Ασκήσεις εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων 137
3.12.3 Ιδιότητες και γραφική απεικόνιση λογαριθμικών συναρτήσεων 138
3.13 Συνδυασμοί συναρτήσεων 140
3.14 Σύνθετες συναρτήσεις 141
3.15 Πεπλεγμένες συναρτήσεις 142
3.16 Βαθμός ομοιογένειας μιας συνάρτησης (παραγωγής) 143
3.17 Ισοϋψείς καμπύλες 144
Ασκήσεις για λύση 145
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Συστήματα Εξισώσεων 150
4.1 Εισαγωγή 150
4.2 Γραφική λύση 151
4.3 Λύση σε μορφή πίνακα 153
4.4 Μαθηματική λύση 153
4.4.1 Η Μέθοδος της απαλοιφής 153
4.4.2 Η μέθοδος της αντικατάστασης 154
4.5 Κάποια περαιτέρω παραδείγματα 155
4.5.1 Ένα αριθμητικό παράδειγμα 155
4.5.1.1 Λύση με αντικατάσταση 155
4.5.1.2 Λύση με απαλοιφή 155
4.5.2 Η εξίσωση μιας ευθείας η οποία διέρχεται από δύο γνωστά σημεία 156
4.6 Σύνολο πιθανών λύσεων για συστήματα εξισώσεων (2×2) 157
4.7 Λύσεις σε συστήματα εξισώσεων με διαστάσεις μεγαλύτερες από (2 x 2) 158
4.8 Ένα (3 χ 3) σύστημα εξισώσεων: Καθορισμός της συνάρτησης προσφοράς δευτέρου βαθμού για κάποιο προϊόν 159
4.9 Γενικά (m χ η) συστήματα 160
4.10 Εφαρμογές 161
4.10.1 Σημείο ισορροπίας σε αγορά με μη γραμμικές συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης 161
4.10.2 Σημείο ισορροπίας για περισσότερες από μια αγορές 162
4.10.3 Ανάλυση νεκρού σημείου 166
4.10.4 Μη γραμμική ανάλυση νεκρού σημείου 170
4.10.5 Ανάλυση νεκρού σημείου για επιχειρήσεις που παράγουν περισσότερα του ενός προϊόντων 173
Ασκήσεις για λύση 177
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Πίνακες /Γραμμική Αλγεβρα 180
5.1 Εισαγωγή 180
5.2 Ειδικές μορφές πινάκων — Ορισμοί 182
5.3 Ιδιότητες των ανάστροφων πινάκων 187
5.4 Η ορίζουσα ενός πίνακα 189
5.4.1 Η ορίζουσα ενός (2 χ 2) πίνακα 190
5.4.2 Η ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα υψηλότερων διαστάσεων από (2×2) 194
5.4.3 Χρήσιμοι ορισμοί 197
5.4.4 Ιδιότητες των οριζουσών 197
5.5 Πράξεις πινάκων 202
5.5.1 Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων 202
5.5.2 Ιδιότητες της πρόσθεσης πινάκων 204
5.5.3 Βαθμωτός πολλαπλασιασμός 205
5.5.4 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων και εσωτερικά γινόμενα 206
5.5.5 Πολλαπλασιασμός πινάκων 209
5.5.6 Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων 216
5.5.7 Ο αντίστροφος ενός πίνακα 218
Ασκήσεις για λύση 225
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα και εφαρμογές τους 228
6.1 Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα 228
6.1.1 Λύση συστημάτων εξισώσεων μέσω αντιστροφής πινάκων 231
6.1.2 Κανόνας του Cramer 232
6.2 Εφαρμογές 234
6.2.1 Παράδειγμα παραγωγής ενός ναυπηγείου 234
6.2.2 Επέκταση του παραδείγματος του ναυπηγείου 237
6.2.3 Ανάλυση εισροών — εκροών 239
6.2.4 Υποδείγματα κατανομής εισαγωγών 244
6.3 Προσδιορισμός του είδους λύσης σε συστήματα εξισώσεων της μορφής ΑΧ = Β, πριν από την επίλυσή τους 249
6.3.1 Εισαγωγή 249
6.3.2 Τετραγωνικός πίνακας, A 250
6.3.3 Μη τετραγωνικός πίνακας A 252
6.3.4 Λύσεις σε ομογενή συστήματα εξισώσεων 253
6.3.5 Περίληψη 255
6.4 Χαρακτηριστικές εξισώσεις, ρίζες και διανύσματα πίνακα 256
Ασκήσεις για λύση 263
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Ανάλυση I: Παραγώγιση — Διαφορικός Λογισμός 267
7.1 Όρια συναρτήσεων 267
7.1.1 Κανόνες ορίων 270
1.2 Η κλίση της καμπύλης μιας συνάρτησης και η παραγωγός 273
7.3 Κανόνες παραγώγισης 277
7.4 Οικονομικές εφαρμογές 281
7.4.1 Η συνάρτηση ζήτησης ως σύνθετη συνάρτηση της τιμής και του χρόνου 281
7.4.2 Σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών 282
7.4.3 Ελαστικότητες της ζήτησης 287
7.4.4 Ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή 291
7.5 Ακρότατα (ή στάσιμα) σημεία συναρτήσεων 292
7.5.1 Οικονομικές και άλλες εφαρμογές 300
7.5.1.1 Αύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις 300
7.5.1.2 Κυρτότητα συναρτήσεων, ακρότατα και σημεία καμπής 300
7.5.1.3 Σειρές του Taylor και του Maclaurin 302
7.5.1.3.1 Σειρές του Taylor 302
7.5.1.3.2 Σειρές του Maclaurin 303
7.5.1.4 Νεοκλασικό πρόβλημα της επιχείρησης — Μεγιστοποίηση του κέρδους 304
7.5.1.5 Διοίκηση αποθεμάτων 306
7.5.1.6 Τιμολόγηση προϊόντος σε διαφοροποιημένες αγορές 307
7.5.1.7 Ποσότητα οικονομικής παραγγελίας 309
Ασκήσεις για λύση 313
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Ανάλυση I: Παραγώγιση — Πολυμεταβλητές Συναρτήσεις 317
8.1 Συναρτήσεις με περισσότερες από μια μεταβλητές — Εισαγωγή 317
8.2 Μερικές Παράγωγοι 317
8.3 Κανόνες μερικής παραγώγισης 319
8.3.1 Γινόμενα συναρτήσεων 319
8.3.2 Κλάσματα συναρτήσεων 319
8.3.3 Δυνάμεις συναρτήσεων 320
8.3.4 Σύνθετες συναρτήσεις — Αλυσωτός κανόνας 321
8.3.5 Άλλοι κανόνες μερικής παραγώγισης 321
8.4 Διαφορικό 322
8.4.1 Ολικό και μερικό διαφορικό 322
8.5 Ολική Παράγωγος 323
8.5.1 Σύνθετες συναρτήσεις — Ολική παράγωγος και αλυσωτός κανόνας 324
8.5.2 Ολική παράγωγος συναρτήσεων με η μεταβλητές 325
8.5.3 Άλλοι κανόνες ολικών παραγωγών 326
8.6 Πεπλεγμένες συναρτήσεις 326
8.7 Οικονομική εφαρμογή — Η συνάρτηση Cobb-Douglas 327
8.8 Εφαρμογή μερικών παραγώγων στη διερεύνηση της λύσης μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων 328
8.9 Ακρότατα σημεία συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών: y = f(x, z) 330
8.10 Ακρότατα σημεία πολυμεταβλητών συναρτήσεων: y = f(xi, …,xn) 336
8.11 Βελτιστοποίηση υπό συνθήκη 338
8.11.1 Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου 338
8.11.2 Λαγκραζιανή συνάρτηση και Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου 342
Ασκήσεις για λύση 348
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Ανάλυση II: Ολοκλήρωση — Ολοκληρωτικός
Λογισμός 353
9.1 Εισαγωγή 353
9.2 Κανόνες ολοκλήρωσης — Αόριστο ολοκλήρωμα 355
9.2.1 Βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης 355
9.2.2 Ολοκλήρωση με αντικατάσταση 358
9.2.3 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες 359
9.3 Ορισμένο ολοκλήρωμα 361
9.3.1 Ολοκλήρωση ως διαδικασία αθροίσματος 361
9.3.2 Ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων 362
9.4 Εφαρμογές 364
9.4.1 Υπολογισμός πιθανοτήτων 364
9.4.2 Πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού 365
9.4.3 Υπολογισμός συνολικού (εσόδου/κόστους) από οριακό (έσοδο/κόστος) 369
9.4.4 Υπολογισμός σωρευτικών ποσών από αύξουσες και φθίνουσες διαδικασίες 370
9.4.5 Υπολογισμός Παρούσας Αξίας Χρηματοροών 371
Ασκήσεις για λύση 372
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: Διαφορικές Εξισώσεις 375
10.1 Εισαγωγή 375
10.2 Εισαγωγικοί ορισμοί και έννοιες 375
10.3 Διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρώματα 378
10.4 Λύσεις διαφορικών εξισώσεων 382
10.5 Γενικός τύπος υπολογισμού της λύσης των διαφορικών εξισώσεων πρώτης-τάξης (first-order linear differential equations) 394
10.6. Ειδικές διαφορικές εξισώσεις 400
10.6.1 Ακριβείς ή άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις (Exact differential equations) 400
10.6.2 Μη ακριβείς ή μη-άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις και παράγοντες
ολοκλήρωσης (integrating factors) 403
10.6.2.1 Προσδιορισμός του παράγοντα ολοκλήρωσης (integrating factor) σε μια
μη ακριβή διαφορική εξίσωση 404
10.6.3 Διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές (Separated Variables) 406
10.6.4 Εξισώσεις Bernoulli 409
10.7 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, της μορφής d2y/dt2=k,, όπου k σταθερά 414
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Εξισώσεις Διαφοράς 416
11.1 Εισαγωγή 416
11.2 Ορολογία 417
11.3 Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφοράς πρώτης τάξης 419
11.4 Δυναμική ευστάθεια (stability) των γραμμικών εξισώσεων διαφοράς 423
11.5 Οικονομικές Εφαρμογές των εξισώσεων διαφοράς 431
11.5.1 Επένδυση ποσού χρημάτων και η μελλοντική του αξία 431
11.5.2 Το υπόδειγμα του ιστού της αράχνης (cobweb model) για ισορροπία στην αγορά των νεότευκτων πλοίων 432
11.5.3 Διαμόρφωση τιμών ως συνάρτηση της υπερβάλλουσας προσφοράς στην αγορά προϊόντος 437
11.5.4 Κατανάλωση των νοικοκυριών ως συνάρτηση του εισοδήματος τους 438
11.6 Εισαγωγή στις εξισώσεις διαφοράς δεύτερης τάξης 440
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Αριθμοδείκτες 443
12.1 Εισαγωγή 443
12.2 Αστάθμητοι δείκτες 444
12.2.1 Απλός τιμάριθμος (ένα αγαθό) 444
12.2.2 Απλός γενικός (συνολικός) τιμάριθμος (περισσότερα από ένα αγαθά) 446
12.2.3 Δείκτης μέσης σχετικής τιμής 447
12.3 Σταθμικοί δείκτες 448
12.3.1 Δείκτης τιμών του Laspeyres 449
12.3.2 Δείκτης τιμών του Paasche 452
12.3.3 Δείκτης τιμών Fisher ή Ιδανικός δείκτης 454
12.3.4 Δείκτης τιμών σταθμισμένος σύμφωνα με το έτος βάσης 454
12.3.5 Δείκτης τιμών με σταθερή στάθμιση 456
12.4 Αλυσωτοί δείκτες τιμών 458
12.5 Ενοποίηση δεικτών 460
12.6 Εφαρμογή: Χρηματιστηριακοί δείκτες τιμών 462
Ασκήσεις για λύση 466
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 469
13.1 Προβλήματα μιας επένδυσης 469
13.1.1 Εισαγωγή 469
13.1.2 Προβλήματα μελλοντικής αξίας 470
13.1.2.1 Απλό επιτόκιο 470
13.1.2.2 Σύνθετος ανατοκισμός 471
13.1.2.2.1 Συχνός ανατοκισμός 475
13.1.2.2.2 Συχνός ανατοκισμός: Ετησιοποιημένα επιτόκια ή ισοδύναμα ετήσια
επιτόκια 475
13.1.2.2.3 Διαρκής ανατοκισμός 476
13.1.3 Προβλήματα παρούσας αξίας 478
13.1.3.1 Συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής 478
13.1.3.2 Προεξόφληση συχνότερη από μία φορά το έτος, διακριτή 482
13.1.3.3 Διαρκής (συνεχής) προεξόφληση 482
13.1.4 Προβλήματα εσωτερικού βαθμού απόδοσης 484
13.1.4.1 ΕΒΑ: Προεξοφλήσεις συχνότερες από μια φορά στο έτος 484
13.1.4.2 ΕΒΑ: Διαρκώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο 485
13.2 Προβλήματα ραντών (Πολλαπλών επενδύσεων) 486
13.2.1 Εισαγωγή 486
13.2.2 Τελική αξία — Μη σταθερές ράντες (Ανισόποσες ταμειακές ροές) 487
13.2.3 Προβλήματα παρούσας αξίας 488
13.2.4 Προβλήματα βαθμού απόδοσης 489
13.2.4.1 Βαθμός απόδοσης 489
13.2.4.2 Εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ) 489
13.2.5 Σταθερές ράντες (Ισόποσες ταμειακές ροές) στο διηνεκές 490
13.2.5.1 Παρούσα αξία σταθερής ράντας στο διηνεκές 491
13.2.5.2 Πρόσκαιρες σταθερές ράντες — Ισόποσες ροές στο πεπερασμένο μέλλον 492
13.2.5.2.1 Παρούσα αξία πρόσκαιρης σταθερής ράντας 493
13.2.5.2.2 Μελλοντική αξία σταθερής πρόσκαιρης ράντας 495
13.2.5.2.3 Τοκοχρεωλύσια και βαθμός απόδοσης κεφαλαίου 497
13.3 Περίληψη 500
13.4 Εφαρμογές της ανάλυσης των προεξοφλημένων χρηματικών ροών ή χρηματορροών ανηγμένων σε παρούσες αξίες 502
13.4.1 Αξιολόγηση επενδύσεων 502
13.4.1.1 Τεχνικές αξιολόγησης επενδύσεων — Το κριτήριο της ΚΠΑ 502
13.4.1.2 Εναλλακτικά κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων: ΕΒΑ, Διάρκεια αποπληρωμής 503
13.4.2 Αποτίμηση αξιόγραφων 504
13.4.2.1 Ομολογίες και μετοχές 504
13.4.2.2 Προβλήματα ομολογιών 504
13.4.2.2.1 Εισαγωγή 504
13.4.2.2.2 Αποτίμηση Ομολογιών 505
13.4.2.3 Προβλήματα μετοχών 506
13.4.2.3.1 Αποτίμηση μετοχών: Το υπόδειγμα του Gordon 506
13.4.2.3.2 Απόδοση στη λήξη ομολογίας 507
13.4.3 Περίληψη 508
Ασκήσεις για λύση 509
Απαντήσεις των ασκήσεων για λύση 513
Ευρετήριο 571