Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: μερικές διαφορικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής
Βασίλειος Χ. Λουκόπουλος,
Γεώργιος Τ. Καραχάλιος
Α΄ Έκδοση
Εκδότης: Μπένου & ΣΙΑ ΕΕ
Μορφή: Μαλακό εξώφυλλο
Αριθμός σελίδων: 440
Κωδικός ISBN: 978-960-359-187-0
Διαστάσεις: 17 × 24 εκ.
Κωδ. Εύδοξος: 122087030
Το παρόν εγχειρίδιο αποτελεί εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δευτέρας τάξεως, οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής και απευθύνεται σε τελειόφοιτους φοιτητές των θετικών και εφαρμοσμένων επιστημών, σε μεταπτυχιακούς φοιτητές και σε επιστήμονες των αντιστοίχων κλάδων. Για την μελέτη αυτού θεωρείται απαραίτητη η γνώση του Ολοκληρωτικού Λογισμού και της Διανυσματικής Ανάλυσης. Το περιεχόμενο του βιβλίου αποτελεί μέρος της ύλης επί των μεθόδων της Μαθηματικής Φυσικής. Ο σχεδιασμός και η σύνθεση της ύλης αποβλέπουν στην απόκτηση γνώσης, η οποία θα καταλήξει στην βαθύτερη κατανόηση των αναλυομένων προβλημάτων και θα αποτελέσει μεθοδικό οδηγό για την επίλυση άλλων συναφών προβλημάτων μέσω της Ανάλυσης Fourier. Το εισαγωγικό κεφάλαιο είναι ευγενική προσφορά του Δημητρίου Σουρλά, ο οποίος διετέλεσε καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών και αποτελεί σύντομη εισαγωγή στις σειρές και το ολοκλήρωμα Fourier.
Στο πρώτο κεφάλαιο περιγράφονται μερικά από τα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής και εξάγονται οι αντιπροσωπευτικές μορφές των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, οι οποίες τα περιγράφουν (υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές). Σκοπός του πρώτου κεφαλαίου δεν είναι τόσον η παράθεση ικανού αριθμού προβλημάτων της Μαθηματικής Φυσικής όσον η εισαγωγή στον τρόπο προσέγγισης αυτών προκειμένου να διατυπωθούν οι διαφορικές εξισώσεις και οι συνθήκες, αρχικές και συνοριακές που τα διέπουν. Με αυτό το σκεπτικό μελετάται η διάδοση του κύματος σε χορδή, σε ράβδο και σε επίπεδη επιφάνεια, η διάδοση της θερμότητας σε στερεά κατά μία ή δύο διευθύνσεις, η κίνηση ιδανικού ή μη ρευστού, η εξίσωση της διάχυσης σωματιδίων εντός μέσου και η διάδοση του ήχου στον αέρα.
Στο δεύτερο, τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται προβλήματα, τα οποία αφορούν σε φαινόμενα χρονικά ή χωρικά. Η παρουσίαση των θεμάτων της ύλης γίνεται από τις απλές περιπτώσεις προς τις σύνθετες. Για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται οι κλασικές μέθοδοι του χωρισμού των μεταβλητών και των ιδιοσυναρτήσεων σε διάφορα συστήματα ορθογωνίων συντεταγμένων (καρτεσιανών, επιπέδων πολικών, κυλινδρικών και σφαιρικών).
Ειδικότερα στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζονται προβλήματα τα οποία περιγράφονται από εξισώσεις υπερβολικού τύπου και αφορούν στην διάδοση του κύματος σε χορδή, ράβδο ή επίπεδη επιφάνεια και στην διάδοση του ήχου στον αέρα. Αρχικά επιλύεται η ομογενής κυματική εξίσωση σε μία διάσταση με την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Εν συνεχεία αναλύεται η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων και εφαρμόζεται στην επίλυση της μη ομογενούς κυματικής εξίσωσης σε μία διάσταση. Με ανάλογο τρόπο μελετώνται τα αντίστοιχα προβλήματα, τα οποία αναφέρονται στην κυματική εξίσωση στις δύο διαστάσεις, Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις ορίζεται η συνάρτηση πηγής και συζητείται η φυσική σημασία αυτής. Επίσης ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στην έννοια της συνάρτησης δέλτα του Dirac και στην χρήση της για την μελέτη ειδικών προβλημάτων. Ακολουθεί η μελέτη των κυματικών φαινομένων σε κυκλική μεμβράνη και σε σφαίρα και η εισαγωγή των συναρτήσεων Bessel και Legendre. Το δεύτερο κεφάλαιο κλείνει με την μελέτη κυματικών φαινομένων σε ράβδους.
Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται σε εξισώσεις παραβολικού τύπου και περιλαμβάνει προβλήματα αγωγής της θερμότητας σε ράβδο, επίπεδο επιφάνεια ή στον χώρο. Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, η μελέτη των προβλημάτων γίνεται από τις ομογενείς προς τις μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις σε μία διάσταση και ακολούθως σε δύο διαστάσεις. Πέραν του κλασικού τρόπου επίλυσης, προσδιορίζεται σε εκάστη περίπτωση και η αντίστοιχη συνάρτηση πηγής. Σε προβλήματα δύο διαστάσεων, που αναφέρονται σε μη ομογενείς εξισώσεις, η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων εκτίθεται αναλυτικά και αποδεικνύονται οι απαιτούμενες σχέσεις η ίδια δε διαδικασία ακολουθείται και για τον προσδιορισμό των αντιστοίχων συναρτήσεων πηγής. Για την μελέτη του προβλήματος της διάδοσης της θερμότητας σε ράβδο απείρου μήκους εισάγεται η έννοια της συνάρτησης πηγής και γίνεται πλήρης ανάλυση και απόδειξη της σχετικής θεωρίας. Ακολουθεί η επέκταση της μελέτης , η οποία αφορά στην συνάρτηση πηγής σε επίπεδο επιφάνεια απείρων διαστάσεων . Τέλος εξετάζονται προβλήματα τα οποία αναφέρονται στην διάδοση της θερμότητας σε κύλινδρο και σφαίρα.
Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετώνται προβλήματα τα οποία περιγράφονται από εξισώσεις ελλειπτικού τύπου. Είναι προβλήματα ισορροπίας, τα οποία περιγράφονται από την εξίσωση του Laplace, την εξίσωση του Poisson και την εξίσωση του Helmholtz. Γίνεται εκτενής αναφορά στις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων και στην θεμελιώδη ολοκληρωτική σχέση του Green, απόρροια της οποίας είναι η δυνατότητα επίλυσης συναφών προβλημάτων με την εισαγωγή της εννοίας της συνάρτησης πηγής.
Το πέμπτο κεφάλαιο αφορά σε περιοδικά και μη περιοδικά φαινόμενα και η μελέτη των προβλημάτων γίνεται με σειρές Fourier, το ολοκλήρωμα Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier.
Σε όλα τα κεφάλαια η θεωρία συνοδεύεται από την παράθεση ενδεικτικών λυμένων παραδειγμάτων και μεγάλου πλήθους επιλεγμένων άλυτων προβλημάτων.
Βασίλειος Χ. Λουκόπουλος
Γεώργιος Τ. Καραχάλιος
Περιεχόμενα
ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 11
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Α: Σειρές Fourier
1 Ορισμός της Σειράς Fourier 13
2 Ικανές συνθήκες για ανάπτυξη μιας συνάρτησης σε σειρά Fourier 17
3 Ανάλυση Fourier για Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις 25
4 Σειρές ημιτόνων και συνημιτόνων 26
5 Μιγαδική μορφή των σειρών Fourier 36
6 Εφαρμογές. 37
B: Ολοκλήρωμα Fourier και εφαρμογές
1 Η ανάγκη για το ολοκλήρωμα Fourier 44
2 Το ολοκλήρωμα Fourier 44
3 Ισοδύναμες μορφές του ολοκληρωτικού θεωρήματος του Fourier 45
4 Ο μετασχηματισμός Fourier 46
5 Ημιτονοειδής και συνημιτονοειδής μετασχηματισμός Fourier 47
6 Ταυτότητες του Parseval για ολοκληρώματα Fourier 47
7 Το θεώρημα της συνελίξεως για μετασχηματισμένες Fοurier 48
8 Εφαρμογές των ολοκληρωμάτων Fοurier 49
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ
Παραγωγή των βασικών εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής
1.1 Εισαγωγικές έννοιες 53
1.2 Αυθαίρετες συναρτήσεις. Το μονοδιάστατο κύμα. 61
1.3 Η διαφορική εξίσωση του κύματος σε ελαστικό μέσο. 64
α) Εγκάρσια ταλάντωση ελαστικής χορδής. 64
β) Ταλάντωση ελαστικής χορδής με απόσβεση. 70
γ) Εγκάρσια ταλάντωση ελαστικής μεμβράνης. 71
δ) Η εξίσωση του διαμήκους κύματος σε ράβδο ή ελατήριο. 73
ε) Η εξίσωση της ενεργείας του εγκαρσίου κύματος σε χορδή. 74
στ) Η εξίσωση του εγκαρσίου κύματος σε πρισματική ράβδο. 76
1.4 Η διαφορική εξίσωση της κατανομής της θερμοκρασίας. 77
α) Κατανομή της θερμοκρασίας σε ράβδο. 77
β) Κατανομή της θερμοκρασίας σε δύο ή σε τρεις διαστάσεις. 81
1.5 Η εξίσωση της κίνησης ρευστού. 86
α) H εξίσωση της συνεχείας. 86
β) Η εξίσωση της κίνησης ιδανικού ρευστού. 87
γ) Δυναμικό ταχύτητας. 88
δ) Η διάχυση του ιξώδους. 89
1.6 Η εξίσωση της διάχυσης. 90
α) Η εξίσωση της διάχυσης διαλελυμένης ουσίας εντός διαλύτη. 90
β) Η εξίσωση της διάχυσης αερίου εντός πορώδους μέσου. 92
1.7 Η εξίσωση της διάδοσης του ήχου στον αέρα. 93
1.8 Καλώς τοποθετημένο πρόβλημα. Η μέθοδος των χωριζομένων Μεταβλητών. Συντελεστές Fourien 96
1.9 Η ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων Xn (x) 104
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ
Εξισώσεις υπερβολικού τύπου
2.1 Αρχικές και συνοριακές συνθήκες. 107
2.2 Το θεώρημα της μοναδικότητας της λύσης. 109
2.3 Η κυματική εξίσωση σε χορδή με σταθερά άκρα. 111
α) Το στάσιμο κύμα. Η ομογενής εξίσωση. 111
β) Η στιγμιαία σημειακή πηγή ταλαντώσεων. 116
γ) Ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων Xn (x) 118
2.4 Η μη ομογενής εξίσωση του κύματος σε χορδή πεπερασμένου μήκους.
Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων. 120
α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Η στιγμιαία ώθηση. 120
β) Μόνιμες μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες. 125
γ) Xρονοεξαρτώμενες μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες. 126
δ) Λυμένα παραδείγματα. 127
2.5 Η συνάρτηση δ. 133
α) Ορισμός της συνάρτησης δ. 133
β) Λογισμός της συνάρτησης δ. 135
γ) Ανάλυση της συνάρτησης δ υπό μορφή σειράς Fourier 138
2.6 Ταλάντωση χορδής πεπερασμένου μήκους υπό την επίδραση δυνάμεως ασκουμένης σε σημείο της χορδής. 141
2.7 Εγκάρσιες ταλαντώσεις ορθογωνίου ελαστικής μεμβράνης.
Διπλή σειρά Fourier 144
α) Η ομογενής εξίσωση. 144
β) Η μη ομογενής εξίσωση. Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων. 147
γ) Η στιγμιαία σημειακή πηγή ταλαντώσεων. 150
2.8 Εγκάρσιες ταλαντώσεις κυκλικής μεμβράνης. Η κυματική εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες. 152
2.9 Η κυματική εξίσωση σε σφαιρικές συντεταγμένες. Σφαιρικά κύματα. 159
2.10 Οι διαμήκεις ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου 0 ≤ x ≤ L 163
α) Διαμήκεις ταλαντώσεις ράβδου με σταθερό το ένα άκρο αυτής. 163
β) Μόνιμες εξαναγκασμένες διαμήκεις ταλαντώσεις ράβδου. 163
γ) Εξαναγκασμένες διαμήκεις ταλαντώσεις ράβδου. 165
2.11 Οι ελεύθερες εγκάρσιες ταλαντώσεις ομογενούς πρισματικής ράβδου 0 ≤ x ≤ L 167
α) Εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου με απλή αμφίπλευρη στήριξη. 167
β) Εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου με ελεύθερα άκρα. 168
γ) Εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου με ακλόνητα άκρα. 169
δ) Εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου με ελεύθερο το ένα άκρο
και ακλόνητο το άλλο. 170
ε) Εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου με ακλόνητο το ένα άκρο και με απλή στήριξη στο άλλο. 171
στ) Ορθογωνιότητα των ιδιοτιμών της εξίσωσης (2.11.3). 172
2.12 Οι εξαναγκασμένες εγκάρσιες ταλαντώσεις πρισματικής ράβδου 0 ≤ x ≤ L 173
Παράρτημα Π1 : Απόδειξη της σχέσεως (2.4.9). 175
Παράρτημα Π2: Ταλάντωση χορδής μουσικού οργάνου. 176
α) Ταλάντωση χορδής προκαλούμενη με νυγμό. 177
β) Ταλάντωση χορδής προκαλούμενη με κρούση από επίπεδό σφυρί. 179
γ) Ταλάντωση χορδής προκαλούμενη με κρούση σε σημείο της. 180
Παράρτημα Π3: Η εξίσωση Bessel. 181
α) Λύση της εξίσωσης Bessel. 181
β) Συνθήκη ορθογωνιότητας των συναρτήσεων Bessel. 184
γ) Τροποποιημένη εξίσωση Bessel. 186
Παράρτημα Π4: Η εξίσωση Legendre. 187
α) Λύση της εξίσωσης Legendre. 187
β) Συνθήκη ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legendre. 188
Ασκήσεις. 190
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ
Εξισώσεις Παραβολικού τύπου
3.1 Η διατύπωση προβλημάτων συνοριακών τιμών. 211
3.2 Το θεώρημα της μοναδικότητας της λύσης. 213
α) Το αξίωμα της μέγιστης τιμής. 213
β) Το θεώρημα της μοναδικότητας της λύσης. 215
3.3 Η ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας ράβδου πεπερασμένου μήκους. 216
α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. H συνάρτηση πηγής. 216
β) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες. 220
γ) Εφαρμογές. 222
3.4 Η μη ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας ράβδου πεπερασμένου μήκους
Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων 228
α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,0) = 0
H συνάρτηση πηγής 228
β) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,0) = φ(x) 232
γ) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες 235
3 5 H συνάρτηση πηγής σε ράβδο απείρου μήκους 238
3.6 H εξίσωση της θερμοκρασίας ράβδου απείρου μήκους 244
α) Ράβδος με αρχική συνθήκη u(x, 0) = φ(x)ȲႿ 244
β) Ράβδος 0 ≤ x < ∞ με συνοριακή συνθήκη u(0, t) = A0cosωt ή u(0, t) = A0sinωt 248
3.7 Η ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας επιπέδου επιφανείας πεπερασμένων διαστάσεων. Διπλή σειρά Fourier 251
α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες. Η συνάρτηση πηγή 251
β) Μη ομογενείς σταθερές συνοριακές συνθήκες 256
3.8 Η μη ομογενής εξίσωση της θερμοκρασίας επιπέδου επιφανείας.
Η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων .H συνάρτηση πηγής 257
α) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,y,0) = 0 257
β) Ομογενείς συνοριακές συνθήκες και αρχική συνθήκη u(x,y,0) = φ(x,y) 261
γ) Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες 261
3. 9 H συνάρτηση πηγής επίπεδης επιφανείας απείρων διαστάσεων 262
3.10 H εξίσωση της θερμοκρασίας επίπεδης επιφανείας απείρων διαστάσεων με αρχική συνθήκη u(x, y, 0) = φ(x,y) 268
3.11 Χρονική κατανομή της θερμοκρασίας κυκλικής επιφανείας 269
3.12 Η χρονική κατανομή της θερμοκρασίας σε κύλινδρο πεπερασμένου ύψους 271
3.13 Η χρονική κατανομή της θερμοκρασίας σε κύλινδρο με θερμικές απώλειες 274
3.14 Χρονική κατανομή της θερμοκρασίας σε σφαίρα 275
Ασκήσεις 280
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ
Εξισώσεις ελλειπτικού τύπου
4.1 Η Εξίσωση του Laplace 298
α) Η Εξίσωση του Laplace σε καρτεσιανές συντεταγμένες 298
β) Ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων στο γενικό πρόβλημα συνοριακών τιμών 300
4.2 Η εξίσωση του Laplace σε πολικές συντεταγμένες 305
4.3 Η εξίσωση του Laplace σε κυλινδρικές συντεταγμένες 309
4.4 Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες 312
4.5 Γενικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωτική σχέση του Green 324
α) Ειδικές λύσεις της εξίσωσης του Laplace 324
β) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός 326
γ) Το θεώρημα του Green 327
δ) Η θεμελιώδης ολοκληρωτική σχέση του Green 329
ε) Θεμελιώδεις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων 334
στ) Το θεώρημα του μεγίστου 337
ζ) Το θεώρημα της μοναδικότητας της λύσης 338
4.6 Η συνάρτηση πηγής στον τρισδιάστατο χώρο για την εξίσωση του Poisson
∇2 u =-F(x,y,z) και για την εξίσωση του Laplace ∇2u = 0 με συνοριακή συνθήκη u(S) = φ(x,y,z) 339
4.7 Η συνάρτηση πηγής στον δισδιάστατο χώρο για την εξίσωση του Poisson
∇2 u = F(x,y) και για την εξίσωση του Laplace ∇2 u = 0 με συνοριακή συνθήκη u(C) = φ(x,y) 342
4.8 Παραδείγματα προσδιορισμού της συνάρτησης Green.
(Η μέθοδος των ειδώλων) 344
4.9 Η χρήση της συνάρτησης πηγής για την επίλυση του προβλήματος
∇2 u = 0 σε σφαίρα με συνοριακή συνθήκη u(S)=φ(x,y,z) .
Το ολοκλήρωμα Poisson 351
4.10 Η χρήση της συνάρτησης πηγής για την επίλυση του προβλήματος
∇2 u = 0 στον κύκλο με συνοριακή συνθήκη u(C)=φ(x,y) .
Το ολοκλήρωμα Poisson 353
4.11 Η Εξίσωση του Helmholtz 354
4.12 Το πρόβλημα του Neumann 358
Ασκήσεις 361
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ
Το ολοκλήρωμα Fourier. Μετασχηματισμοί Fourier
5.1. Το Ολοκλήρωμα Fourier 382
α) Το ολοκλήρωμα Fourier υπό τριγωνομετρική μορφή 382
β) Το ολοκλήρωμα Fourier υπό μιγαδική μορφή 387
5.2. Εφαρμογές του ολοκληρώματος Fourier 388
5.3. Διάδοση κύματος κατά μήκος ελαστικής χορδής απείρου μήκους 399
5.4. Σημειακή Πηγή Θερμότητας 400
5.5. Στιγμιαία Πηγή Φωτός 403
5.6. Μετασχηματισμοί Fourier 403
Ασκήσεις 412
Γενικευμένα Ολοκληρώματα-Σειρές 423
Βιβλιογραφία 437
